中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第22题

\section*{解题过程：} （1）由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 单调递减有下界，故 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \geqslant 0$ ． （1）若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ． 由于 $\left|\int_{a}^{A} \cos 2 x \mathrm{~d} x\right| \leqslant 1$ ，由 Dirichlet 判别法知， $\int_{a}^{+\infty} f(x) \cos 2 x \mathrm{~d} x$ 收敛。 $$ \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{a}^{+\infty} f(x) \frac{1-\cos 2 x}{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{2} \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2} \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos 2 x \mathrm{~d} x $$ 由此知 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 同时收敛。 （2）若 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A>0$ ，则 $\displaystyle \forall \varepsilon>\frac{A}{2}, \exists M>0$ ，当 $x>M$ 时有 $\displaystyle f(x)>A-\varepsilon>\frac{A}{2}$ ． 因 $\int_{M}^{+\infty}(A-\varepsilon) \mathrm{d} x$ 发散，由比较判别法知 $\int_{M}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散。于是 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散。 $$ f(x) \sin ^{2} x \geqslant \frac{A}{2} \sin ^{2} x=\frac{A}{4}-\frac{\cos 2 x}{4} . $$ 由于 $\displaystyle \int_{M}^{+\infty} \frac{A}{4} \mathrm{~d} x$ 发散。所以 $\int_{M}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 发散。于是 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 发散。 综上，两个积分同时收敛，同时发散。 （2）用（1）相同的方法证明． （3） $\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{+\infty} \sin ^{2} x \mathrm{~d} f(x)=-\int_{0}^{+\infty} f(x) \sin 2 x \mathrm{~d} x$ ． 由于 $F(A)=\int_{0}^{A} \sin 2 x \mathrm{~d} x$ 有界，$f(x)$ 单调下降，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \sin 2 x \mathrm{~d} x$ 收敛，从而积分 $\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。