解题过程：
（1）易知不等式 $\displaystyle \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+1\right)} \leqslant \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \leqslant \frac{1}{x^{p}\left(x^{p}-1\right)}$ 成立．
当 $\displaystyle p>\frac{1}{2}$ 时， $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}\left(x^{p}-1\right)} \mathrm{d} x$ 收敛。由比较判别法， $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ 收敛，从而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ 收敛。
当 $\displaystyle p \leqslant \frac{1}{2}$ 时，
$$
\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x \geqslant \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x=\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{2 x^{p}\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x-\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x^{p}} \frac{1}{\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x .
$$
又由 Dirichlet 判别法知 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛。 $\displaystyle \frac{1}{\left(x^{p}+1\right)}$ 单调减少且小于 1 。由阿贝尔判別法， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{2 x^{p}} \frac{1}{\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x$ 收敛；而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x$ 发散，于是 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+1\right)} \mathrm{d} x$ 发散（也可由22题得）。由比较判别法， $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ 发散。
综上得，当 $\displaystyle \frac{1}{2}
1$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}=1$ ；当 $p=1$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}=\frac{1}{2}$ ；当 $p<1$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}=0$ 。所以 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 是定积分．
下面只讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
若 $p>1$ ，则 $\exists \varepsilon_{0}>0$ ，使得 $p-\varepsilon_{0}>1$ 。由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{p-\varepsilon_{0}}\left|\frac{\sin x}{x^{p}+\sin x}\right|=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\varepsilon_{0}}} \frac{1}{1+\frac{|\sin x|}{x^{p}}}=0$ ，所以积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛。于是当 $p>1$ 时， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛。
当 $0
\int_{2 n \pi+\frac{\pi}{4}}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{2} \mathrm{~d} x>\frac{\sqrt{2}}{16} \pi$ ．由柯西收敛准则，积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 发散．
综上，当 $p>1$ 时 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛；当 $\displaystyle \frac{1}{2}
1$ 时，积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛；当 $\displaystyle \frac{1}{2}