中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第24题

\section*{解题过程：} 由于 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增无上界，所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的零点不可能以 $+\infty$ 为聚点．不妨设 $x \geqslant a(\geqslant 0)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ．由拉格朗日中值定理， $$ f(x)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(x-a) \geqslant f^{\prime}(a)(x-a) \rightarrow+\infty(x \rightarrow+\infty), a<\xi0$ ，函数 $y=f(x)$ 存在反函数，记为 $x=\widehat{g}(y), y \in[f(a),+\infty)$ ．当 $y$ 由 $f(a)$ 增至 $+\infty$时，$x$ 就一一对应地由 $a$ 增至 $+\infty$ 。 由 $y=f(x)$ ，则 $\int_{a}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x=\int_{f(a)}^{+\infty} \cos y \cdot g^{\prime}(y) \mathrm{d} y$ ． 由于 $\left|\int_{f(a)}^{u} \cos y \mathrm{~d} y\right|=|\sin u-\sin f(a)| \leqslant 2$ ，所以积分 $\int_{f(a)}^{u} \cos y \mathrm{~d} y$ 有界．又由于 $f^{\prime}(x)$ 在 $x \in[a,+\infty)$ 递增趋于 $+\infty$ ，那么函数 $\displaystyle g^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}$ 在 $y \in[f(a),+\infty)$ 递减趋于零．由 Dirichlet 判别法，积分 $\int_{f(a)}^{+\infty} \cos y g^{\prime}(y) \mathrm{d} y$ 收玫，因而积分 $\int_{a}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 收玫．因 $\int_{0}^{a} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 是常义积分，故积分 $\int_{0}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 收玫。