中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第25题
📝 题目
25．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，又设极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \neq 0$ ．证明：无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A>0$ ，对 $\displaystyle \forall 0<\varepsilon<\frac{A}{2}, \exists M>0$ ，当 $x>M$ 时有 $\displaystyle f(x)>A-\varepsilon>\frac{A}{2}$ ．
对任意的 $G>0$ ，存在自然数 $n$ ，使 $\displaystyle A_{1}=2 n \pi>\max \{G, M\}, A_{2}=2 n \pi+\frac{\pi}{2}>\max \{G, M\}$ ，
$$
\left|\int_{A_{1}}^{A_{2}} f(x) \sin x \mathrm{~d} x\right|=\int_{2 n \pi}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x \mathrm{~d} x>\int_{2 n \pi}^{2 n \pi+\frac{\pi}{2}} \frac{A}{2} \sin x \mathrm{~d} x=\frac{A}{2}
$$
由 Cauchy 收玫准则，积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用极限条件得到f(x)的下界
由 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \neq 0$，不妨设 $A > 0$（若 $A < 0$，考虑 $-f(x)$ 类似可证）。取 $\varepsilon = \frac{A}{2} > 0$，则存在 $M > 0$，当 $x > M$ 时，有 $f(x) > A - \varepsilon = \frac{A}{2}$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} f(x) = A \neq 0$
提示：注意极限非零，可假设A>0，若A<0则类似处理。
步骤 2/5
目标：构造区间使sin x非负
考虑区间 $[2n\pi, 2n\pi + \frac{\pi}{2}]$，其中 $n$ 为自然数。在此区间上，$\sin x \geq 0$，且 $\int_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 1$。
公式：$\sin x \geq 0$ 当 $x \in [2n\pi, 2n\pi+\frac{\pi}{2}]$
提示：选择区间使sin x非负，便于放缩。
步骤 3/5
目标：选取足够大的n使区间在M之外
取自然数 $n$ 足够大，使得 $2n\pi > M$，则当 $x \in [2n\pi, 2n\pi+\frac{\pi}{2}]$ 时，有 $x > M$，从而 $f(x) > \frac{A}{2}$。
提示：确保区间完全位于M右侧，以使用下界。
步骤 4/5
目标：估计积分下界
计算积分：
$$
\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x \, dx\right| = \int_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x \, dx > \int_{2n\pi}^{2n\pi+\frac{\pi}{2}} \frac{A}{2} \sin x \, dx = \frac{A}{2}.
$$
因此，对任意大的 $G$，存在 $A_1 = 2n\pi > G$ 和 $A_2 = 2n\pi+\frac{\pi}{2} > G$，使得该积分绝对值大于常数 $\frac{A}{2}$。
公式：$\int_{a}^{b} f(x) \sin x \, dx > \frac{A}{2} \int_{a}^{b} \sin x \, dx$
提示：注意绝对值内为正，可直接去掉绝对值。
步骤 5/5
目标：应用柯西收敛准则判断发散
由柯西收敛准则，无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \, dx$ 收敛当且仅当对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得对任意 $A_2 > A_1 > X$，有 $\left|\int_{A_1}^{A_2} f(x) \sin x \, dx\right| < \varepsilon$。但这里取 $\varepsilon = \frac{A}{2}$，对任意 $X$，总存在 $n$ 使 $A_1 = 2n\pi > X$，且 $\left|\int_{A_1}^{A_1+\pi/2} f(x) \sin x \, dx\right| > \frac{A}{2}$，故不满足条件，积分发散。
公式：柯西收敛准则
提示：注意反证：若收敛，则对任意小正数，积分绝对值应小于该数，但这里找到大于常数的区间。
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