中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第27题
📝 题目
27．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可微，且 $f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ ，证明若积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ 知函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上正值且单调增加，从而 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负单调递减，故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{f(x)}$ 存在．
由 $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{0}^{A} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} \mathrm{d} x=\frac{1}{f(0)}-\lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{f(A)}$ 得积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} \mathrm{d} x$ 收敛。
因 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)}=\frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)+f(x) f^{\prime}(x)} \leqslant \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}$ ，故 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)}\right) \mathrm{d} x$ 收敛，进而 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数性质
由 $f'(x) \geq 0$ 知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减，又 $f(0)>0$，故 $f(x) \geq f(0)>0$ 对所有 $x\geq 0$ 成立，即 $f(x)$ 恒正。因此 $\frac{1}{f(x)}$ 非负且单调递减，从而 $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{f(x)}$ 存在（可能为0）。
提示：注意单调不减和恒正性，确保分母不为零。
步骤 2/5
目标：构造辅助积分并证明其收敛
考虑积分 $\int_0^{+\infty} \frac{f'(x)}{f^2(x)} dx$。计算：$\int_0^A \frac{f'(x)}{f^2(x)} dx = \left[-\frac{1}{f(x)}\right]_0^A = \frac{1}{f(0)} - \frac{1}{f(A)}$。由于 $\frac{1}{f(A)}$ 极限存在，故当 $A\to+\infty$ 时，该积分收敛于 $\frac{1}{f(0)} - \lim_{A\to+\infty} \frac{1}{f(A)}$。
公式：$\int \frac{f'(x)}{f^2(x)} dx = -\frac{1}{f(x)} + C$
提示：注意原函数为 $-1/f(x)$，代入上下限时需小心符号。
步骤 3/5
目标：建立不等式关系
考虑差值：$\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)+f'(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))}$。由于 $f(x)+f'(x) \geq f(x)$，故 $\frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \leq \frac{f'(x)}{f^2(x)}$。同时该差值非负。
公式：$\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)+f'(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))}$
提示：注意分母放大时不等号方向：分母变大，分数变小。
步骤 4/5
目标：利用比较判别法证明差值积分收敛
由 $0 \leq \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)+f'(x)} \leq \frac{f'(x)}{f^2(x)}$ 及 $\int_0^{+\infty} \frac{f'(x)}{f^2(x)} dx$ 收敛，根据比较判别法，$\int_0^{+\infty} \left( \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)+f'(x)} \right) dx$ 收敛。
公式：比较判别法：若 $0 \leq g(x) \leq h(x)$ 且 $\int h$ 收敛，则 $\int g$ 收敛。
提示：确保被积函数非负，比较判别法才适用。
步骤 5/5
目标：由已知积分收敛推出结论
已知 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f'(x)} dx$ 收敛，且 $\int_0^{+\infty} \left( \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(x)+f'(x)} \right) dx$ 收敛，则两者之和 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx$ 收敛（收敛积分之和仍收敛）。
公式：若 $\int a$ 和 $\int b$ 收敛，则 $\int (a+b)$ 收敛。
提示：注意这里两个积分都收敛，才能相加。
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