中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第28题
📝 题目
28．证明下列结论．
（1）若 $\int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \cdot x f(x), x \geqslant 1$ ．因 $\int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，$\displaystyle \frac{1}{x}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调有界，由阿贝尔判别法， $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（2）取 $M=\{|a|, 1\}$ ．由 $\int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，知 $\int_{M}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛。而
$$
0 \leqslant \int_{M}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{M}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x
$$
因此 $\int_{M}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，从而 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析题目条件与结论
题目（1）已知 $\int_{1}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 收敛，要证明 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。注意 $f(x)$ 没有非负条件，因此需要利用收敛判别法。
提示：注意 $f(x)$ 可能变号，不能直接使用比较判别法。
步骤 2/8
目标：将 $f(x)$ 表示为乘积形式
将 $f(x)$ 写成 $f(x) = \frac{1}{x} \cdot x f(x)$，其中 $x \geq 1$。这样 $\int_{1}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 已知收敛，而 $\frac{1}{x}$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递减且趋于0，因此有界。
公式：$f(x) = \frac{1}{x} \cdot x f(x)$
提示：注意 $\frac{1}{x}$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调有界，且极限为0。
步骤 3/8
目标：应用阿贝尔判别法
阿贝尔判别法：若 $\int_{a}^{+\infty} g(x) \, dx$ 收敛，且 $h(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上单调有界，则 $\int_{a}^{+\infty} g(x) h(x) \, dx$ 收敛。这里取 $g(x) = x f(x)$，$h(x) = \frac{1}{x}$，则 $\int_{1}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 收敛，$\frac{1}{x}$ 单调有界，故 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \cdot x f(x) \, dx$ 收敛。
公式：阿贝尔判别法
提示：阿贝尔判别法要求 $h(x)$ 单调有界，这里 $\frac{1}{x}$ 单调递减且 $0 < \frac{1}{x} \leq 1$，满足条件。
步骤 4/8
目标：完成（1）的证明
由阿贝尔判别法，$\int_{1}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，证毕。
步骤 5/8
目标：分析（2）的条件
题目（2）中 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上非负连续，且 $\int_{a}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 收敛，要证明 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。由于 $f(x) \geq 0$，可以直接使用比较判别法。
提示：注意 $f(x)$ 非负，因此积分收敛性可由比较判别法得到。
步骤 6/8
目标：选取合适的积分下限
取 $M = \max\{|a|, 1\}$，则 $M \geq 1$ 且 $M \geq |a|$。由于 $\int_{a}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 收敛，其子区间 $\int_{M}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 也收敛。
公式：$M = \max\{|a|, 1\}$
提示：选择 $M$ 使得 $x \geq M$ 时 $x \geq 1$，从而 $f(x) \leq x f(x)$。
步骤 7/8
目标：应用比较判别法
当 $x \geq M$ 时，$x \geq 1$，所以 $f(x) \leq x f(x)$。由于 $f(x) \geq 0$，有 $0 \leq \int_{M}^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_{M}^{+\infty} x f(x) \, dx$。而 $\int_{M}^{+\infty} x f(x) \, dx$ 收敛，由比较判别法知 $\int_{M}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。
公式：$0 \leq \int_{M}^{+\infty} f(x) \, dx \leq \int_{M}^{+\infty} x f(x) \, dx$
提示：比较判别法要求被积函数非负，这里 $f(x) \geq 0$ 满足条件。
步骤 8/8
目标：完成（2）的证明
由于 $\int_{M}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，且 $\int_{a}^{M} f(x) \, dx$ 是有限区间上的积分，必然收敛，因此 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \, dx = \int_{a}^{M} f(x) \, dx + \int_{M}^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。证毕。
提示：注意有限区间上的积分总是收敛的（$f$ 连续）。
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