中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第29题
📝 题目
29．若瑕积分 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $a$ 是㻓点），那么 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并举例说明命题的逆不成立．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由柯西收敛准则，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $x_{1}, x_{2} \in(a, a+\delta)$ 时有 $\int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$ 。从而
$$
\left|\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{x_{1}}^{x_{2}}|f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon .
$$
由柯西收敛准则知 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
逆命题不成立．反例：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \sqrt{\frac{1}{x}}$ ．
$\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ 收敛，而 $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x=\int_{1}^{+\infty}\left|\frac{\sin t}{t}\right| \mathrm{d} t \geqslant \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} t}{t} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2}\left(\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t} \mathrm{~d} t-\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 t}{t} \mathrm{~d} t\right)$发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
已知瑕积分 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（$a$ 是瑕点），需要证明 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，并举例说明逆命题不成立。
提示：注意瑕积分定义中瑕点位于区间端点，此处假设 $a$ 是瑕点，$b$ 为正常点。
步骤 2/7
目标：应用柯西收敛准则于 $|f|$ 的积分
由 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，根据柯西收敛准则，$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$，使得当 $x_1, x_2 \in (a, a+\delta)$ 时，有 $\int_{x_1}^{x_2}|f(x)| \mathrm{d} x < \varepsilon$。
公式：柯西收敛准则：$\int_a^b g(x) dx$ 收敛 $\iff \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$，使得当 $x_1,x_2\in(a,a+\delta)$ 时，$\left|\int_{x_1}^{x_2} g(x) dx\right|<\varepsilon$。
提示：注意瑕积分收敛的柯西准则形式：当 $x_1,x_2$ 充分靠近瑕点时，积分绝对值小于任意正数。
步骤 3/7
目标：利用绝对值不等式推导 $f$ 积分的柯西条件
对于同样的 $\varepsilon$ 和 $\delta$，当 $x_1, x_2 \in (a, a+\delta)$ 时，有
$$
\left|\int_{x_1}^{x_2} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_{x_1}^{x_2}|f(x)| \mathrm{d} x < \varepsilon.
$$
因此 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 满足柯西收敛准则，从而收敛。
公式：三角不等式：$\left|\int f\right| \leq \int |f|$
提示：注意此处 $\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$ 是正常积分，因为 $x_1,x_2>a$，所以绝对值不等式成立。
步骤 4/7
目标：构造反例说明逆命题不成立
考虑函数 $f(x)=\frac{1}{x} \sin \sqrt{\frac{1}{x}}$，定义在 $(0,1]$ 上，$x=0$ 为瑕点。首先证明 $\int_0^1 f(x) dx$ 收敛。
提示：反例需要满足 $\int |f|$ 发散而 $\int f$ 收敛，通常选择振荡函数。
步骤 5/7
目标：证明 $\int_0^1 f(x) dx$ 收敛
作变量代换 $t = \sqrt{1/x}$，则 $x = 1/t^2$，$dx = -2/t^3 dt$，当 $x:0\to1$ 时，$t:\infty\to1$，于是
$$
\int_0^1 f(x) dx = \int_1^\infty \frac{\sin t}{t} \cdot 2 dt = 2 \int_1^\infty \frac{\sin t}{t} dt.
$$
而 $\int_1^\infty \frac{\sin t}{t} dt$ 是条件收敛的狄利克雷积分，故原积分收敛。
公式：变量代换公式，狄利克雷积分收敛性
提示：注意代换后积分限变化，且 $\int_0^\infty \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$ 收敛，但此处从1到无穷也收敛。
步骤 6/7
目标：证明 $\int_0^1 |f(x)| dx$ 发散
同样代换 $t=\sqrt{1/x}$，得
$$
\int_0^1 |f(x)| dx = \int_1^\infty \left|\frac{\sin t}{t}\right| \cdot 2 dt = 2 \int_1^\infty \frac{|\sin t|}{t} dt.
$$
利用不等式 $|\sin t| \geq \sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}$，有
$$
\int_1^\infty \frac{|\sin t|}{t} dt \geq \frac{1}{2} \int_1^\infty \frac{1}{t} dt - \frac{1}{2} \int_1^\infty \frac{\cos 2t}{t} dt.
$$
右边第一项发散（调和级数），第二项收敛（狄利克雷判别法），因此原积分发散。
公式：$|\sin t| \geq \sin^2 t$，$\int_1^\infty \frac{1}{t} dt$ 发散
提示：注意 $\int_1^\infty \frac{\cos 2t}{t} dt$ 收敛，但发散部分主导，故整体发散。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$\int_a^b |f(x)| dx$ 收敛可推出 $\int_a^b f(x) dx$ 收敛，但反之不真。反例 $f(x)=\frac{1}{x}\sin\sqrt{1/x}$ 在 $[0,1]$ 上 $\int f$ 收敛而 $\int |f|$ 发散。
提示：注意反例中 $f$ 在瑕点附近振荡，导致条件收敛。
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