中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第30题
📝 题目
30．证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ ．因为 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=1$ ，所以 $x=0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点．
由 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛，并且
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{n \pi}^{(n+1) \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (n \pi+t)}{t+n \pi} \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{t+n \pi} \mathrm{~d} t
$$
（2）由（1）知 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ 。而 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ 为交错级数且严格递减收玫于 0 ，所以 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明积分收敛并改写为级数形式
首先，考虑函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。由于 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=1$，所以 $x=0$ 是可去间断点，积分 $\int_0^{+\infty} f(x)\,dx$ 收敛。将积分区间按 $\pi$ 的整数倍分割：
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty \int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x}\,dx.$$
提示：注意 $x=0$ 处是瑕点，但极限存在，因此积分收敛。
步骤 2/6
目标：变量代换将积分区间统一到 $[0,\pi]$
对每个 $n$，令 $x = t + n\pi$，则 $dx = dt$，当 $x$ 从 $n\pi$ 到 $(n+1)\pi$ 时，$t$ 从 $0$ 到 $\pi$。于是
$$\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} \frac{\sin x}{x}\,dx = \int_0^\pi \frac{\sin(t+n\pi)}{t+n\pi}\,dt.$$
提示：注意 $\sin(t+n\pi) = (-1)^n \sin t$。
步骤 3/6
目标：利用正弦函数的周期性简化
由于 $\sin(t+n\pi) = (-1)^n \sin t$，代入得
$$\int_0^\pi \frac{\sin(t+n\pi)}{t+n\pi}\,dt = (-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{t+n\pi}\,dt.$$
公式：$\sin(t+n\pi) = (-1)^n \sin t$
提示：注意符号 $(-1)^n$ 的正确提取。
步骤 4/6
目标：得到级数表达式
将上述结果代入级数，得到
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^\pi \frac{\sin t}{t+n\pi}\,dt.$$
将积分变量 $t$ 换回 $x$，即得所需等式。
提示：注意求和指标 $n$ 从 $0$ 开始。
步骤 5/6
目标：分析级数的交错性质
记 $a_n = \int_0^\pi \frac{\sin x}{x+n\pi}\,dx$。由于 $\sin x > 0$ 在 $(0,\pi)$ 上，且分母 $x+n\pi$ 随 $n$ 增大而增大，故 $a_n > 0$ 且严格递减。又 $a_n \to 0$（因为 $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ 有界，分母趋于无穷），所以 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$ 是收敛的交错级数。
公式：莱布尼茨判别法
提示：需验证 $a_n$ 单调递减趋于0。
步骤 6/6
目标：利用交错级数性质证明不等式
对于收敛的交错级数 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$，其部分和 $S_N = \sum_{n=0}^N (-1)^n a_n$ 满足 $S_0 = a_0$，且 $S_1 = a_0 - a_1 < a_0$，且级数和 $S$ 介于相邻部分和之间，即 $S < S_0 = a_0$。因此
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n < a_0 = \int_0^\pi \frac{\sin x}{x}\,dx.$$
公式：交错级数部分和性质
提示：注意 $S_0$ 就是第一项，且级数和小于第一项。
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