中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第31题
📝 题目
31．设 $f(x)$ 在 $[0, \infty)$ 上连续， $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{x}=f(0)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x}=0$ ；（3）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(0)$ 。从而
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}=f^{2}(0)
$$
即 $x=0$ 为函数 $\displaystyle \frac{g^{2}(x)}{x^{2}}$ 的可去间断点．
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{x}\left(\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)^{2}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 2 f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．
（3）$\forall A>0$ ，由分部积分法及 Schwarz 不等式得
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{A} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x & =-\int_{0}^{\mathrm{A}} \mathrm{~g}^{2}(\mathrm{x}) \mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)=-\left.\frac{g^{2}(x)}{x}\right|_{0} ^{A}+2 \int_{0}^{A} \frac{g(x) f(x)}{x} \mathrm{~d} x \leqslant 2 \int_{0}^{A} \frac{g(x) f(x)}{x} \mathrm{~d} x \\
& \leqslant 2\left[\int_{0}^{A}\left(\frac{g(x)}{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{2}}\left[\int_{0}^{A}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle \left[\int_{0}^{A}\left(\frac{g(x)}{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{2}} \leqslant 2\left[\int_{0}^{A}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{2}}$ ，即 $\displaystyle \int_{0}^{A}\left(\frac{g(x)}{x}\right)^{2} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{A}(f(x))^{2} \mathrm{~d} x$ ．
所以反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明极限 (1) 的第一部分
由 $g(x)=\int_0^x f(t)dt$，则 $\frac{g(x)}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt$。由于 $f$ 连续，由积分中值定理或洛必达法则，$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = f(0)$。因此 $\lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)}{x}=f(0)$。
公式：$\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}\int_0^x f(t)dt = f(0)$
提示：注意 $f$ 连续是使用积分中值定理或洛必达法则的前提。
步骤 2/6
目标：证明极限 (2)
考虑 $\lim_{x\to 0^+}\frac{g^2(x)}{x}$。由于 $g(0)=0$，且 $g'(x)=f(x)$，由洛必达法则：$\lim_{x\to 0^+}\frac{g^2(x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} 2g(x)g'(x) = 2g(0)f(0)=0$。
公式：洛必达法则：$\lim_{x\to 0^+}\frac{g^2(x)}{x} = \lim_{x\to 0^+} 2g(x)f(x)$
提示：注意 $g(0)=0$，且 $g$ 可导，才能使用洛必达法则。
步骤 3/6
目标：证明 (3) 中反常积分收敛性：分部积分
对任意 $A>0$，考虑 $\int_0^A \frac{g^2(x)}{x^2}dx$。令 $u=g^2(x)$，$dv=\frac{dx}{x^2}$，则 $du=2g(x)f(x)dx$，$v=-\frac{1}{x}$。分部积分得：
$$\int_0^A \frac{g^2(x)}{x^2}dx = -\left.\frac{g^2(x)}{x}\right|_0^A + 2\int_0^A \frac{g(x)f(x)}{x}dx.$$
由 (2) 知 $\lim_{x\to 0^+}\frac{g^2(x)}{x}=0$，故 $\left.\frac{g^2(x)}{x}\right|_0^A = \frac{g^2(A)}{A}$。因此
$$\int_0^A \frac{g^2(x)}{x^2}dx = -\frac{g^2(A)}{A} + 2\int_0^A \frac{g(x)f(x)}{x}dx \leq 2\int_0^A \frac{g(x)f(x)}{x}dx.$$
公式：分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$
提示：注意边界项 $\frac{g^2(A)}{A}$ 非负，因此不等式成立。
步骤 4/6
目标：应用 Cauchy-Schwarz 不等式
对 $2\int_0^A \frac{g(x)f(x)}{x}dx$ 应用 Cauchy-Schwarz 不等式：
$$2\int_0^A \frac{g(x)f(x)}{x}dx \leq 2\left(\int_0^A \left(\frac{g(x)}{x}\right)^2 dx\right)^{1/2}\left(\int_0^A f^2(x) dx\right)^{1/2}.$$
公式：Cauchy-Schwarz 不等式：$(\int uv)^2 \leq \int u^2 \int v^2$
提示：注意 $\frac{g(x)}{x}$ 在 $x=0$ 处有定义（由 (1) 知极限存在），且 $f$ 平方可积。
步骤 5/6
目标：推导积分不等式
令 $I(A)=\int_0^A \left(\frac{g(x)}{x}\right)^2 dx$，$J(A)=\int_0^A f^2(x) dx$。由前两步得：
$$I(A) \leq 2\sqrt{I(A)}\sqrt{J(A)}.$$
若 $I(A)=0$，则不等式显然成立；否则两边除以 $\sqrt{I(A)}$ 得：$\sqrt{I(A)} \leq 2\sqrt{J(A)}$，平方得 $I(A) \leq 4J(A)$。即
$$\int_0^A \frac{g^2(x)}{x^2}dx \leq 4\int_0^A f^2(x) dx.$$
公式：由 $I \leq 2\sqrt{I}\sqrt{J}$ 推出 $\sqrt{I} \leq 2\sqrt{J}$
提示：注意 $I(A)$ 非负，除以 $\sqrt{I(A)}$ 时需考虑 $I(A)=0$ 的情况。
步骤 6/6
目标：证明反常积分收敛并得到不等式
由于 $\int_0^{+\infty} f^2(x) dx$ 收敛，即 $\lim_{A\to+\infty} J(A)$ 存在有限。由 $I(A) \leq 4J(A)$ 知 $I(A)$ 关于 $A$ 有界且单调递增（因为被积函数非负），故 $\lim_{A\to+\infty} I(A)$ 存在有限，即反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{g^2(x)}{x^2}dx$ 收敛。且由不等式取极限得：
$$\int_0^{+\infty} \frac{g^2(x)}{x^2}dx \leq 4\int_0^{+\infty} f^2(x) dx.$$
公式：单调有界准则
提示：注意 $I(A)$ 是 $A$ 的增函数，有上界则极限存在。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。