中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第32题
📝 题目
32．设函数 $f(x)$ 定义在 $(a,+\infty)$ 上，并且 $f(x) \geqslant 0, b>a$ 为常数．
（1）举例说明：反常积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 不收敛；反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 不收敛。
（2）证明：若 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3）假设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界，且积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：对任意常数 $p>1, \int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x$收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 发散。
对 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}}, \int_{a}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{x^{3}}} \mathrm{~d} x$ 发散。
（2）不妨设 $a$ 为㻓点．由 $\int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，对 $\forall \varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $u_{1}, u_{2} \in(a, a+\delta)$（不妨设 $u_{1}0$ ，使 $f(x) \leqslant G$ ，于是
$$
f^{p}(x)=f(x) \cdot f^{p-1}(x) \leqslant G^{p-1} f(x)
$$
由比较判别法得 $\int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：举例说明反常积分收敛性差异
（1）取 $a=0$, $b=1$，令 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，则 $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2$ 收敛，但 $\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 \frac{1}{x} dx$ 发散。
对于无穷区间，取 $a=1$，令 $f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$，则 $\int_1^{+\infty} f^2(x) dx = \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3}} dx$ 收敛（$p=3/2>1$），但 $\int_1^{+\infty} f(x) dx = \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} dx$ 发散（$p=3/4<1$）。
公式：$\int_0^1 \frac{1}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $p<1$；$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $p>1$。
提示：注意区分瑕积分和无穷限积分的收敛条件，p值的判断容易混淆。
步骤 2/3
目标：证明有限区间上f^2收敛蕴含f收敛
（2）不妨设 $a$ 为瑕点。由 $\int_a^b f^2(x) dx$ 收敛，根据柯西收敛准则，对 $\forall \varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $u_1,u_2\in(a,a+\delta)$（设 $u_10$，取 $\varepsilon = \frac{\varepsilon'^2}{b-a}$，则当 $u_1,u_2$ 充分接近 $a$ 时，$\int_{u_1}^{u_2} f(x) dx < \varepsilon'$，由柯西准则知 $\int_a^b f(x) dx$ 收敛。
公式：Schwarz不等式：$\left(\int u v\right)^2 \leq \int u^2 \int v^2$，取 $u=f$, $v=1$。
提示：注意瑕点处需考虑区间长度因子 $\sqrt{b-a}$，且需将 $\varepsilon$ 与 $\varepsilon'$ 的关系转换正确。
步骤 3/3
目标：证明有界条件下f收敛蕴含f^p收敛
（3）由于 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上有界，存在 $G>0$ 使得 $0\leq f(x)\leq G$ 对所有 $x>a$ 成立。则对于 $p>1$，有
$$f^p(x)=f(x)\cdot f^{p-1}(x)\leq f(x)\cdot G^{p-1}=G^{p-1}f(x).$$
由比较判别法，因为 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，且 $f^p(x)\leq G^{p-1}f(x)$，所以 $\int_a^{+\infty} f^p(x) dx$ 收敛。
公式：比较判别法：若 $0\leq g(x)\leq h(x)$ 且 $\int h$ 收敛，则 $\int g$ 收敛。
提示：注意 $p>1$ 时 $f^{p-1}\leq G^{p-1}$ 成立，但需确保 $f(x)$ 非负。
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