中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第33题
📝 题目
33．举例．
（1）举一个非负函数 $f(x)$ ，它在 $[0,+\infty)$ 上积分收玫，但极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）作一非负连续且无界的函数使无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x=n \in \mathbf{N}^{+} \\ 0, x \neq n \in \mathbf{N}^{+},\end{array}\right.$则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫但 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）记 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$ ，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 非负连续且无界，无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造非负函数，积分收敛但极限不存在
考虑函数 $f(x)$ 在正整数点处取值为1，其余点为0，即 $f(x) = \begin{cases} 1, & x = n \in \mathbb{N}^+, \\ 0, & x \neq n \in \mathbb{N}^+. \end{cases}$ 该函数非负，且在每个点处有定义。
提示：注意函数定义域为 $[0,+\infty)$，正整数点可数，其余点连续取值。
步骤 2/6
目标：验证积分收敛
由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上几乎处处为0，仅在可数个点处非零，且这些点的测度为0，因此 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = 0$，积分收敛。
公式：Lebesgue积分中，改变零测集上的函数值不影响积分值。
提示：这里使用Lebesgue积分观点，Riemann积分下该函数不可积，但题目通常指Lebesgue积分或广义Riemann积分？注意：实际上该函数在Riemann意义下不可积，因为不连续点集有正测度？但此处可数点集测度为0，Riemann积分通常要求有界且几乎处处连续，但该函数在每点附近振荡，Riemann积分不存在。因此更合适的例子是连续函数。但题目答案给出此例，可能默认Lebesgue积分。
步骤 3/6
目标：验证极限不存在
当 $x$ 趋于无穷时，$f(x)$ 在正整数点处取1，在非正整数点处取0，因此 $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ 不存在。
提示：极限不存在是因为函数值在0和1之间振荡。
步骤 4/6
目标：构造非负连续无界函数，积分收敛
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)}$，定义域 $[0,+\infty)$。该函数非负，且在 $[0,+\infty)$ 上连续（在 $x=0$ 处需补充定义 $f(0)=0$，因为 $\lim_{x\to0^+} f(x)=0$）。
提示：注意在 $x=0$ 处函数无定义，需补充定义 $f(0)=0$ 使其连续。
步骤 5/6
目标：验证函数无界
当 $x\to0^+$ 时，$f(x) \sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，趋于无穷，因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上无界。
提示：无界性源于 $x\to0^+$ 时的行为。
步骤 6/6
目标：验证积分收敛
计算积分：$\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \, dx$。令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$，积分变为 $\int_0^{+\infty} \frac{2t}{t(1+t^2)} \, dt = 2\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$，收敛。
公式：$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{2}$
提示：换元时注意积分限变化，且 $t$ 从0到 $+\infty$。
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