中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第34题
📝 题目
34．讨论下列问题．
（1）设反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，并有 $f(x) \geqslant 0$ 且 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）不一定收敛．
如：$\displaystyle f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)^{2}}, \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，但 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)^{4}} \mathrm{~d} x$ 发散。
（2）不一定收敛．
$\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{x}, f(x)=\frac{1}{(x+1) \sqrt{x}}, f(x) g(x)=\frac{1}{(x+1) \sqrt{x}} \frac{x+1}{x}=\frac{1}{x \sqrt{x}}$ ．虽然 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收 敛 ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，但 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 发散。
（3）不一定收敛．
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2^{n}|x-n|, x \in\left[n-\frac{1}{2^{n}}, n+\frac{1}{2^{n}}\right], f(x) \geqslant 0, \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=1, \text { 但 } \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \neq 0 \text { 。 } \\ 0, \text { 其他，}\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析问题（1）的反例构造
考虑函数 $f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)^2}$。首先验证 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛：在 $x=0$ 附近，$f(x)\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，积分收敛；在 $x\to+\infty$ 时，$f(x)\sim \frac{1}{x^{5/2}}$，积分收敛。但 $f(x)g(x)=\frac{1}{x(1+x)^4}$，在 $x=0$ 附近 $\sim \frac{1}{x}$，积分发散。因此 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 发散，故不一定收敛。
公式：$f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)^2}$
提示：注意在0附近和无穷远处的渐近行为，确保两个积分分别收敛但乘积发散。
步骤 2/4
目标：分析问题（2）的反例构造
取 $f(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}}$，$g(x)=\frac{x+1}{x}$。则 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛（在0附近 $\sim \frac{1}{\sqrt{x}}$，无穷远处 $\sim \frac{1}{x^{3/2}}$），且 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=1$。但 $f(x)g(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}$，在0附近 $\sim \frac{1}{x}$，积分发散。因此 $\int_0^{+\infty} f(x)g(x) dx$ 发散，故不一定收敛。
公式：$f(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x}},\ g(x)=\frac{x+1}{x}$
提示：注意g(x)在无穷远处趋于1，但可能在0附近有奇点，导致乘积积分发散。
步骤 3/4
目标：分析问题（3）的反例构造
构造一个非负连续函数，其积分收敛但极限不为0。例如，定义 $f(x)$ 在区间 $[n-\frac{1}{2^n}, n+\frac{1}{2^n}]$ 上为以 $n$ 为中心、高为1的等腰三角形，其他处为0。即 $f(x)=1-2^n|x-n|$ 在 $[n-\frac{1}{2^n}, n+\frac{1}{2^n}]$ 上，否则为0。每个三角形面积为 $\frac{1}{2^n}$，总面积为 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}=1$，故积分收敛。但 $f(n)=1$，因此 $\limsup_{x\to+\infty} f(x)=1$，极限不存在，更不为0。
公式：$f(x)=\begin{cases} 1-2^n|x-n|, & x\in[n-\frac{1}{2^n}, n+\frac{1}{2^n}] \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
提示：注意函数连续且非负，但每个尖峰的高度恒为1，因此极限不存在。
步骤 4/4
目标：总结三个问题的结论
（1）不一定收敛，反例见步骤1。（2）不一定收敛，反例见步骤2。（3）结论不成立，反例见步骤3。
提示：注意区分条件是否充分，反例构造是关键。
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