中册 5.2 反常积分敛散性的判定 第35题

答：错误．$\displaystyle f(x)=g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ． （2）积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，$g(x)$ 是 $[a,+\infty)$ 上的有界连续函数，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫。（兰州大学 2003） 答：正确．由于 $|f(x) g(x)| \leqslant M|f(x)|$ ，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收玫，由 M 判别法得证． （3）若无穷积分 $\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则无穷积分 $\int_{0}^{\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 也收敛．（吉林大学 2007）答：错误．如 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}}, \int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，但 $\int_{0}^{\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 不收敛。 （4）若无穷积分 $\int_{a}^{\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，则无穷积分 $\int_{a}^{\infty}\left|f^{2}(x)\right| \mathrm{d} x$ 也收敛．（西安交大 2008）答：错误．$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)^{2}}$ 于 $(0,+\infty)$ 上不成立． （5）若 $\int_{0}^{\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，则 $f(x)$ 于 $(0,+\infty)$ 上有界．（吉林大学 2010）答：错误．$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}(1+x)^{2}}$ 于 $(0,+\infty)$ 上不成立． （6）若无穷积分 $\int_{0}^{\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，则无穷积分 $\int_{0}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．（太原理工 2008）答：正确．绝对收敛的反常积分收玫． （7）若瑕积分 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $a$ 为瑕点），则暇积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（南昌大学 2009）答：正确．绝对收玫的反常积分收玫． （8）如果积分 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$（其中 $b$ 为瑕点）收敛，则 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛．（山西师大 2006）答：错误．收玫的反常积分不一定绝对收玫． （9）在 $[a,+\infty)$ 上 $f(x) \geqslant g(x)$ ，积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（曲阜师大 2008）答：错误．$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}} \geqslant g(x)=-\frac{1}{x}, x \in[1,+\infty)$ ． （10）若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=A$ ，则 $A=0$ ．（上海交大 1999） 答：正确．见 5.3 题 1. （11）若非正常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．（北京理工 2007，南昌．大学 2010，山西师大 2007，上海大学 2005，深圳大学 2012，江西师大 2012，浙江师大 2012，中科大 2014，苏州大学 2014） 答：错误．$f(x)=\sin x^{2}, \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，但 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \neq 0$ ． （12）若非正常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 必存在．（南京师大 2006，南京农大 2008）答：错误． $\int_{1}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x$ 收玫，但 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sin x^{2}$ 不存在． （13）若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则必有 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．（华东理工 2005，曲阜师大2009，扬州大学 2011，浙江理工 2011） 答：错误．$f(x)=\sin x^{2}$ ． （14）若函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续非负，反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．（苏州大学 2009／2010／2013） 答：错误．$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2^{n}|x-n|, x \in\left[n-\frac{1}{2^{n}}, n+\frac{1}{2^{n}}\right], f(x) \geqslant 0, \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=1, \text { 但 } \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \neq 0 \text { 。 } \\ 0, \text { 其他，}\end{array}\right.$ （15）若函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续恒正，反常积分 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．（上海交大2002，南京师大2009） 答：错 误 ．$\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{l}1-2^{n}|x-n|, x \in\left[n-\frac{1}{2^{n}}, n+\frac{1}{2^{n}}\right], f(x)=\max \left\{\varphi(x), \frac{1}{x^{2}}\right\}, \text { 则 } f(x)>0 \text { ，} \\ 0 \text { ，其他，}\end{array}\right. \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \neq 0$ ． （16）设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续可微，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．（南京师大2005／2008） 答：正确．见 5.3 题 5. （17）若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．（浙江理工 2013）答：正确．见 5.3 题 7. （18）若 $f(x)$ 在 $1