中册 5.3 与反常积分有关的极限 第1题
📝 题目
1．设 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：$A=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．若 $A \neq 0$ ，不妨设 $A>0$ ，由极限的保号性得 $\exists M>a, \forall x>M$ ，有 $\displaystyle f(x)>\frac{A}{2}$ ．
由 $\displaystyle \int_{a}^{B} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{M} f(x) \mathrm{d} x+\int_{M}^{B} f(x) \mathrm{d} x>\int_{a}^{M} f(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} A(B-M)$ 知， $\lim _{B \rightarrow+\infty} \int_{a}^{B} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。这与 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫发生矛盾。
同理也可证明不可能有 $A<0$ ，所以 $A=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：假设极限A不为零
假设 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 且 $A \neq 0$。不妨设 $A > 0$（$A < 0$ 的情况类似可证）。
提示：注意这里只假设A>0，A<0的情况对称处理。
步骤 2/8
目标：利用极限保号性得到局部下界
由极限的保号性，存在 $M > a$，使得对所有 $x > M$，有 $f(x) > \frac{A}{2}$。
提示：保号性：若极限为正，则存在邻域内函数值大于极限的一半。
步骤 3/8
目标：将积分拆分为两部分
对任意 $B > M$，将积分拆分为 $\int_a^B f(x) dx = \int_a^M f(x) dx + \int_M^B f(x) dx$。
提示：拆分点选在M处，因为M之后函数有下界。
步骤 4/8
目标：估计第二部分积分下界
由于当 $x > M$ 时 $f(x) > \frac{A}{2}$，有 $\int_M^B f(x) dx > \int_M^B \frac{A}{2} dx = \frac{A}{2}(B-M)$。
公式：$\int_M^B f(x) dx > \frac{A}{2}(B-M)$
提示：注意不等式方向：函数值大于常数，积分也大于常数积分。
步骤 5/8
目标：得到整个积分的下界
因此 $\int_a^B f(x) dx > \int_a^M f(x) dx + \frac{A}{2}(B-M)$。
提示：第一部分是有限常数，第二部分随B增大而线性增长。
步骤 6/8
目标：取极限得出矛盾
令 $B \to +\infty$，则 $\frac{A}{2}(B-M) \to +\infty$，故 $\int_a^B f(x) dx \to +\infty$，这与 $\int_a^{+\infty} f(x) dx$ 收敛矛盾。
提示：收敛意味着积分极限存在且有限，这里趋于无穷大，矛盾。
步骤 7/8
目标：处理A<0的情况
若 $A < 0$，考虑 $-f(x)$，则 $\lim_{x \to +\infty} (-f(x)) = -A > 0$，且 $\int_a^{+\infty} (-f(x)) dx$ 收敛（因为原积分收敛），同样推出矛盾。因此 $A$ 不能为负。
提示：利用线性性质：若f(x)积分收敛，则-f(x)积分也收敛。
步骤 8/8
目标：得出结论
综上，$A$ 既不能大于0也不能小于0，故 $A=0$。
提示：结论：收敛的无穷限积分，其被积函数若存在极限，则极限必为0。
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