中册 5.3 与反常积分有关的极限 第2题

\section*{解题过程：} （1）由于 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，故依 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调下降，$\forall x \in[a,+\infty)$ 有 $f(x) \geqslant 0$ ．否则，若 $\exists x_{0} \in[a,+\infty)$ ，使 $f\left(x_{0}\right)<0$ ，则 $\forall x_{1}>x_{0}$ 有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f\left(x_{0}\right)<0$ ．因而 $\forall b>x_{0}$ 有 $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{x_{0}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{x_{0}}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{x_{0}} f(x) \mathrm{d} x+f\left(x_{0}\right)\left(b-x_{0}\right) \rightarrow-\infty,(b \rightarrow+\infty) $$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫相矛盾． 由 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，据 Cauchy 准则，$\forall \varepsilon>0, \exists A>a$ ，当 $A^{n}>A^{\prime}>A>a$ 时，恒有 $\displaystyle 0<\int_{A^{\prime}}^{A^{*}} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}$ 。故 $\forall x>2 A$ ，有 $\displaystyle 0 \leqslant x f(x)=2 f(x) \int_{\frac{x}{2}}^{x} \mathrm{~d} t \leqslant 2 \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t<2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$ ，即 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x) \frac{1}{x}=0$ ． （3）由（1）知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0 . \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)-\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。所以 $\int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。