中册 5.3 与反常积分有关的极限 第3题
📝 题目
3．证明下列命题．
（1）设 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）设 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $x f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调减少，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x(\ln x) f(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：因为 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，由 Cauchy 收敛准则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．由 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 为单调下降函数得
$$
\begin{gathered}
\int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{x}^{2 x} t \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \leqslant \int_{x}^{2 x} t \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} t=\frac{f(x)}{x} \int_{x}^{2 x} t \mathrm{~d} t=\frac{3}{2} x f(x), \\
\int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{\frac{x}{2}}^{x} t \frac{f(t)}{t} \mathrm{~d} t \geqslant \int_{\frac{x}{2}}^{x} t \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} t=\frac{f(x)}{x} \int_{\frac{x}{2}}^{x} t \mathrm{~d} t=\frac{3}{8} x f(x) .
\end{gathered}
$$
于是 $\displaystyle \frac{2}{3} \int_{x}^{2 x} f(t) \mathrm{d} t \leqslant x f(x) \leqslant \frac{8}{3} \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 。从而 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ，即当 $x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)=o\left(\frac{1}{x}\right)$ ．
方法2：因为 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，由 Cauchy 收敛准则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0$ 。而
$$
\int_{\frac{x}{2}}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi) \frac{x}{2}=\frac{f(\xi)}{\xi} \cdot \frac{\xi x}{2}>\frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{4}=\frac{1}{4} x f(x)
$$
所以 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．
（2）分析：由已知得 $x f(x) \geqslant 0$ ，且 $\displaystyle 0 \leqslant \frac{1}{2} x(\ln x) f(x) \leqslant \int_{\sqrt{x}}^{x} t f(t) \cdot \frac{1}{t} \mathrm{~d} t=\int_{\sqrt{x}}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．由 Cauchy 收敛准则证明．证明如下：
因 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，由 Cauchy 准则知，$\forall \varepsilon>0, \exists A>1$ ，当 $A^{\prime \prime}>A^{\prime}>A>a$ 时，恒有 $\displaystyle \int_{A^{\prime}}^{A^{\prime \prime}} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\varepsilon}{2}$ ．故 $\forall x>A^{2}$ 时， $\displaystyle \int_{\sqrt{x}}^{x} f(t) \mathrm{d} t<\frac{\varepsilon}{2}$ ．而
$$
\int_{\sqrt{x}}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\int_{\sqrt{x}}^{x} t \cdot f(t) \cdot \frac{1}{t} \mathrm{~d} t \geqslant \int_{\sqrt{x}}^{x} x \cdot f(x) \cdot \frac{1}{t} \mathrm{~d} t=\left.x f(x) \ln t\right|_{\sqrt{x}} ^{x}=\frac{1}{2} x f(x) \ln x .
$$
于是 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用Cauchy收敛准则得到积分极限为零
由于 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，由Cauchy收敛准则，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>a$，当 $x>X$ 时，有 $\left|\int_x^{2x} f(t) \, dt\right|<\varepsilon$ 且 $\left|\int_{x/2}^x f(t) \, dt\right|<\varepsilon$。因此 $\lim_{x\to+\infty}\int_x^{2x} f(t) \, dt = 0$，$\lim_{x\to+\infty}\int_{x/2}^x f(t) \, dt = 0$。
公式：Cauchy收敛准则：$\lim_{x\to+\infty}\int_x^{2x} f(t) \, dt = 0$
提示：注意Cauchy准则中区间端点可以任意选取，这里取 $x$ 和 $2x$ 以及 $x/2$ 和 $x$。
步骤 2/7
目标：利用单调性建立积分与 $xf(x)$ 的不等式
由 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调减少，对 $t\in[x,2x]$，有 $\frac{f(t)}{t} \le \frac{f(x)}{x}$，从而 $f(t) \le t \cdot \frac{f(x)}{x}$。于是
$$\int_x^{2x} f(t) \, dt \le \int_x^{2x} t \cdot \frac{f(x)}{x} \, dt = \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{3}{2}x^2 = \frac{3}{2} x f(x).$$
类似地，对 $t\in[x/2,x]$，有 $\frac{f(t)}{t} \ge \frac{f(x)}{x}$，从而 $f(t) \ge t \cdot \frac{f(x)}{x}$，于是
$$\int_{x/2}^x f(t) \, dt \ge \int_{x/2}^x t \cdot \frac{f(x)}{x} \, dt = \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{3}{8}x^2 = \frac{3}{8} x f(x).$$
公式：$\frac{f(t)}{t}$ 单调减少：$t\ge x$ 时 $\frac{f(t)}{t} \le \frac{f(x)}{x}$；$t\le x$ 时 $\frac{f(t)}{t} \ge \frac{f(x)}{x}$
提示：注意不等式方向：当 $t$ 在 $[x,2x]$ 时，$t\ge x$，所以 $\frac{f(t)}{t} \le \frac{f(x)}{x}$；当 $t$ 在 $[x/2,x]$ 时，$t\le x$，所以 $\frac{f(t)}{t} \ge \frac{f(x)}{x}$。
步骤 3/7
目标：推导 $xf(x)$ 的夹逼不等式
由上述两个不等式可得
$$\frac{2}{3} \int_x^{2x} f(t) \, dt \le x f(x) \le \frac{8}{3} \int_{x/2}^x f(t) \, dt.$$
公式：$\frac{2}{3}\int_x^{2x} f(t) \, dt \le x f(x) \le \frac{8}{3}\int_{x/2}^x f(t) \, dt$
提示：注意系数：由 $\int_x^{2x} f \le \frac{3}{2}xf(x)$ 得 $xf(x) \ge \frac{2}{3}\int_x^{2x} f$；由 $\int_{x/2}^x f \ge \frac{3}{8}xf(x)$ 得 $xf(x) \le \frac{8}{3}\int_{x/2}^x f$。
步骤 4/7
目标：取极限得到结论
由Cauchy准则，$\lim_{x\to+\infty}\int_x^{2x} f(t) \, dt = 0$ 且 $\lim_{x\to+\infty}\int_{x/2}^x f(t) \, dt = 0$，因此夹逼得 $\lim_{x\to+\infty} x f(x) = 0$。
提示：夹逼定理要求两边极限均为0。
步骤 5/7
目标：利用Cauchy准则得到积分极限为零（第二问）
由于 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，由Cauchy准则，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>a$，当 $x>A^2$ 时，有 $\int_{\sqrt{x}}^x f(t) \, dt < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：Cauchy准则：$\lim_{x\to+\infty}\int_{\sqrt{x}}^x f(t) \, dt = 0$
提示：这里取区间 $[\sqrt{x}, x]$，因为后续需要用到 $\ln x$。
步骤 6/7
目标：利用单调性建立积分与 $x\ln x f(x)$ 的不等式
由 $x f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调减少，对 $t\in[\sqrt{x}, x]$，有 $t f(t) \ge x f(x)$（因为 $t\le x$，单调减少意味着 $t f(t) \ge x f(x)$）。于是
$$\int_{\sqrt{x}}^x f(t) \, dt = \int_{\sqrt{x}}^x t f(t) \cdot \frac{1}{t} \, dt \ge \int_{\sqrt{x}}^x x f(x) \cdot \frac{1}{t} \, dt = x f(x) \int_{\sqrt{x}}^x \frac{1}{t} \, dt = x f(x) \ln \frac{x}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x f(x) \ln x.$$
公式：$t f(t) \ge x f(x)$ 对 $t\in[\sqrt{x}, x]$ 成立
提示：注意单调减少：当 $t\le x$ 时，$t f(t) \ge x f(x)$，所以不等式方向是 $\ge$。
步骤 7/7
目标：推导 $x\ln x f(x)$ 的极限为零
由上述不等式得 $0 \le \frac{1}{2} x f(x) \ln x \le \int_{\sqrt{x}}^x f(t) \, dt < \frac{\varepsilon}{2}$，因此 $0 \le x f(x) \ln x < \varepsilon$，即 $\lim_{x\to+\infty} x f(x) \ln x = 0$。
公式：$0 \le x f(x) \ln x < \varepsilon$
提示：注意 $f(x)$ 可能为负？但由单调性可推出 $f(x)$ 非负（否则积分发散），这里假设非负。
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