中册 5.3 与反常积分有关的极限 第4题
📝 题目
4．分析 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫与 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 的关系．
（1）设 $f(x)$ 为 $[0 ;+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，是否必有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若是，请证明；若不是，请举反例，并说明对 $f(x)$ 加一点什么条件就能保证 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）举例说明 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，但不一定有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。在前面的条件下再加什么条件，一定有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 为 $[0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，问 $f(x)$ 是否在 $[0,+\infty)$ 上有界？若答案为＂是＂，请给出证明；若答案为＂否＂，请给出反例．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若仅知道积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，以及 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续非负，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 不一定成立．例如
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1, x=n, n=1,2, \cdots), \\
0, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[n+\frac{1}{2^{n}}, n+1-\frac{1}{2^{n+1}}\right], \\
\text { 线性, 其他. }
\end{array}\right.
$$
显然 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续非负， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在，但 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}=1$ ，即 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫。
（2）$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，不一定有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．例如， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x =\int_{a}^{+\infty} \frac{\sin t}{2 \sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 收玫，但 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sin x^{2} \neq 0$ ．
（3）$f(x)$ 为 $[0,+\infty)$ 上的非负连续函数，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty, f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一定有界．例如
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
n, x=n, n=1,2, \cdots, \\
0, x \in\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \bigcup_{n=1}^{\infty}\left[n+\frac{1}{2^{n}}, n+1-\frac{1}{2^{n+1}}\right], \\
\text { 线性, 其他, }
\end{array}\right.
$$
显然，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2^{n}} \cdot n=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}=2$ 收玫。但 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$上无界。
若 $f(x)$ 满足下列条件之一能保证 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$（见题 2）：
（1）若 $f(x)$ 单调， $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$（见题 7）；
（2）若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续（或更强条件，如 $f(x)$ 有有界的导数），且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，可推得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析问题（1）并给出反例
对于非负连续函数，积分收敛不一定推出极限为0。构造反例：定义函数$f(x)$在$x=n$处取值为1，在区间$[n+\frac{1}{2^n}, n+1-\frac{1}{2^{n+1}}]$上为0，其余部分线性连接。该函数连续非负，且积分$\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1$收敛，但$\lim_{x\to+\infty} f(x)$不存在（因为$f(n)=1$）。
公式：\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = 1
提示：注意反例中函数在无穷远处有无限多个尖峰，每个尖峰面积足够小以保证积分收敛。
步骤 2/6
目标：给出保证极限为零的条件（1）
若$f(x)$单调递减且积分收敛，则必有$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。因为若极限不为0，则存在$\epsilon>0$使得$f(x)\ge\epsilon$在无穷远处成立，积分发散。
提示：单调性条件可以保证极限存在，结合积分收敛推出极限为0。
步骤 3/6
目标：分析问题（2）并给出反例
对于连续函数（不一定非负），积分收敛不一定推出极限为0。例如$f(x)=\sin(x^2)$，积分$\int_a^{+\infty} \sin(x^2) dx$通过变量代换$t=x^2$转化为$\frac12\int_{a^2}^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} dt$，由Dirichlet判别法知收敛，但$\lim_{x\to+\infty}\sin(x^2)$不存在。
公式：\int_a^{+\infty} \sin(x^2) dx = \frac12\int_{a^2}^{+\infty} \frac{\sin t}{\sqrt{t}} dt
提示：注意该反例中函数不趋于0，但积分收敛，说明连续条件不够。
步骤 4/6
目标：给出保证极限为零的条件（2）
若$f(x)$在$[a,+\infty)$上一致连续且积分收敛，则必有$\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$。证明：假设极限不为0，则存在$\epsilon>0$和点列$x_n\to+\infty$使得$|f(x_n)|\ge\epsilon$，由一致连续性存在$\delta>0$使得在$[x_n-\delta,x_n+\delta]$上$|f(x)|\ge\epsilon/2$，这些区间长度固定，积分贡献无限，矛盾。
提示：一致连续性保证函数在局部不会剧烈振荡，从而积分发散。
步骤 5/6
目标：分析问题（3）并给出反例
非负连续函数积分收敛不一定有界。构造反例：在$x=n$处取值为$n$，在$[n+\frac{1}{2^n}, n+1-\frac{1}{2^{n+1}}]$上为0，线性连接。该函数连续非负，积分$\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2^n} \cdot n = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = 2$收敛，但$f(n)=n$无界。
公式：\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = 2
提示：注意反例中尖峰高度无限增加，但宽度足够窄使得面积收敛。
步骤 6/6
目标：总结保证极限为零的常见条件
常见条件包括：(1) $f(x)$单调；(2) $f(x)$一致连续（或导数有界）；(3) $f(x)$非负且积分收敛，加上单调性可推出极限为0。
提示：注意这些条件是充分的，但不是必要的。
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