中册 5.3 与反常积分有关的极限 第5题
📝 题目
5．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 都收玫。证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{+\infty} \mathrm{d} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)-f(a)$ 及 $\int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 的收玫性，可知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限．再利用题 1 的结论得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用积分基本定理表示积分
由牛顿-莱布尼茨公式，有 $\int_{a}^{+\infty} f'(x) \mathrm{d}x = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f'(x) \mathrm{d}x = \lim_{b \to +\infty} [f(b) - f(a)]$。
公式：$\int_{a}^{b} f'(x) \mathrm{d}x = f(b) - f(a)$
提示：注意积分上限是无穷，需要取极限。
步骤 2/4
目标：由积分收敛性得出极限存在
已知 $\int_{a}^{+\infty} f'(x) \mathrm{d}x$ 收敛，即 $\lim_{b \to +\infty} [f(b) - f(a)]$ 存在且有限，因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在且有限。记 $L = \lim_{x \to +\infty} f(x)$。
提示：收敛意味着极限存在且有限，注意区分无穷极限与有限极限。
步骤 3/4
目标：利用已知结论或反证法证明极限为零
假设 $L \neq 0$，不妨设 $L > 0$（$L < 0$ 类似）。则存在 $X > a$，当 $x > X$ 时，$f(x) > \frac{L}{2} > 0$。于是 $\int_{X}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x \geq \int_{X}^{+\infty} \frac{L}{2} \mathrm{d}x = +\infty$，与 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$ 收敛矛盾。故 $L = 0$。
提示：反证法：假设极限非零，利用积分比较判别法推出矛盾。
步骤 4/4
目标：总结结论
因此，$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
提示：注意题目中两个积分收敛的条件缺一不可。
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