中册 5.3 与反常积分有关的极限 第6题
📝 题目
6．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow 0^{+}$时单调趋于 $+\infty$ ，证明：若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，必有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．
（2）若 $\int_{0}^{1} x^{\alpha} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 为单调函数，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0(\alpha \geqslant 0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $f(x)$ 的单调性，对于充分小的 $00$ ．由 Cauchy 收玫准则，
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{x}^{2 x} t^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \int_{\frac{x}{2}}^{x} t^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t=0
$$
若 $f(x)$ 单调减少，则 $\displaystyle \int_{\frac{x}{2}}^{x} t^{\alpha} f(t) \mathrm{d} t>\frac{1}{2} x^{\alpha} f(x) x$ ，从而 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\alpha+1} f(x)=0$ ．
若 $f(x)$ 单调增加，则 $\int_{x}^{2 x} t^{a} f(t) \mathrm{d} t>x^{a} f(x) x$ ，从而 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{a+1} f(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用单调性建立积分不等式
由于 $f(x)$ 在 $x \rightarrow 0^{+}$ 时单调趋于 $+\infty$，对于充分小的 $x>0$，有 $f(t) \geq f(x)$ 当 $t \in [x/2, x]$（因为 $f$ 单调递减？注意：单调趋于 $+\infty$ 意味着 $f$ 是递减的？实际上，当 $x$ 减小时 $f(x)$ 增大，所以 $f$ 是单调递减的。因此对 $t \in [x/2, x]$，有 $f(t) \geq f(x)$。于是：
$$\int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \geq \int_{x/2}^{x} f(x) \, dt = f(x) \cdot \frac{x}{2}.$$
所以 $0 \leq \frac{x}{2} f(x) \leq \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt$。
公式：\int_{x/2}^{x} f(t) \, dt \geq \frac{x}{2} f(x)
提示：注意单调性的方向：$f(x)$ 单调趋于 $+\infty$ 意味着 $f$ 是单调递减的（当 $x$ 减小时函数值增大）。
步骤 2/6
目标：应用柯西收敛准则
由 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 收敛，根据柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $0
公式：\lim_{x\to 0^+} \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt = 0
提示：柯西准则中积分限趋于0时，积分值趋于0。
步骤 3/6
目标：推导极限为零
由第一步的不等式 $0 \leq \frac{x}{2} f(x) \leq \int_{x/2}^{x} f(t) \, dt$ 和第二步的极限，利用夹逼定理得 $\lim_{x\to 0^+} \frac{x}{2} f(x) = 0$，从而 $\lim_{x\to 0^+} x f(x) = 0$。
公式：\lim_{x\to 0^+} x f(x) = 0
提示：夹逼定理要求不等式方向正确。
步骤 4/6
目标：处理第二问：假设f(x)正性
对于第二问，不妨设存在 $x_0 \in (0,1]$，当 $00$（否则考虑 $-f$ 或类似处理）。由 $\int_0^1 x^\alpha f(x) \, dx$ 存在，根据柯西收敛准则，有
$$\lim_{x\to 0^+} \int_{x}^{2x} t^\alpha f(t) \, dt = \lim_{x\to 0^+} \int_{x/2}^{x} t^\alpha f(t) \, dt = 0.$$
公式：\lim_{x\to 0^+} \int_{x}^{2x} t^\alpha f(t) \, dt = 0
提示：注意积分区间长度趋于0。
步骤 5/6
目标：分情况讨论单调性
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上单调，有两种情况：
- 若 $f$ 单调减少，则对 $t \in [x/2, x]$，有 $f(t) \geq f(x)$，且 $t^\alpha \geq (x/2)^\alpha$，于是
$$\int_{x/2}^{x} t^\alpha f(t) \, dt \geq \int_{x/2}^{x} (x/2)^\alpha f(x) \, dt = (x/2)^\alpha f(x) \cdot \frac{x}{2} = \frac{1}{2^{\alpha+1}} x^{\alpha+1} f(x).$$
- 若 $f$ 单调增加，则对 $t \in [x, 2x]$，有 $f(t) \geq f(x)$，且 $t^\alpha \geq x^\alpha$，于是
$$\int_{x}^{2x} t^\alpha f(t) \, dt \geq \int_{x}^{2x} x^\alpha f(x) \, dt = x^\alpha f(x) \cdot x = x^{\alpha+1} f(x).$$
公式：\int_{x/2}^{x} t^\alpha f(t) \, dt \geq \frac{1}{2^{\alpha+1}} x^{\alpha+1} f(x) \quad (f\text{减})\\
\int_{x}^{2x} t^\alpha f(t) \, dt \geq x^{\alpha+1} f(x) \quad (f\text{增})
提示：注意单调性不同时，积分区间选择不同，以保证不等式方向一致。
步骤 6/6
目标：利用极限为零得到结论
由第四步的极限为零和第五步的不等式，利用夹逼定理可得：
- 若 $f$ 单调减少，则 $\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{2^{\alpha+1}} x^{\alpha+1} f(x) = 0$，从而 $\lim_{x\to 0^+} x^{\alpha+1} f(x) = 0$。
- 若 $f$ 单调增加，则 $\lim_{x\to 0^+} x^{\alpha+1} f(x) = 0$。
注意题目中写的是 $\lim_{x\to +\infty}$，但根据上下文应为 $x\to 0^+$，因为积分区间是 $[0,1]$。
公式：\lim_{x\to 0^+} x^{\alpha+1} f(x) = 0
提示：注意极限过程是 $x\to 0^+$，不是 $x\to +\infty$，原题可能有笔误。
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