中册 5.3 与反常积分有关的极限 第7题
📝 题目
7．证明下列命题．
（1）若 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）又若条件＂$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续＂，其他条件不变，结论是否成立？若不成立，请举例具体说明之。
（3）设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，导函数有界，且 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．若 $f(x)$ 的导函数无界，是否仍有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，举例说明．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，故 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in[a,+\infty)$ ，当 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$ 时，有 $\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$ ．
又 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，由 Cauchy 收玫准则知，$\forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall A^{\prime}, A^{\prime \prime}>M$ 有 $\left|\int_{A^{\prime}}^{A^{\prime \prime}} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon \delta$ ．
特别地，当 $x>M$ 时，取 $A^{\prime}=x, A^{\prime \prime}=x+\delta$ ，有 $\left|\int_{x}^{x+\delta} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon \delta$ ．
由积分中值定理得 $\exists \eta \in(x, x+\delta)$ 使 $|f(\eta)|<\varepsilon$ 。
于是当 $x>M$ 时有 $|f(x)| \leqslant|f(x)-f(\eta)|+|f(\eta)|<2 \varepsilon$ ，故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
（2）若仅知道积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，以及条件＂$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续＂改为＂$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续＂，结论有可能不成立．例如 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{2} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{2 \sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 收玫，被积函数 $\sin x^{2}$ 在 $[1,+\infty)$上连续，而 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sin x^{2}$ 不存在．
（3）由已知条件知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续，由（1）得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
若 $f(x)$ 的导函数无界，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 不一定成立。如 $f(x)=\sin x^{2}, \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫且 $f^{\prime}(x)=2 x \cos x^{2}$ 在 $[a,+\infty)$ 无界， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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