中册 5.3 与反常积分有关的极限 第8题
📝 题目
8．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续可微， $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。证明若 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant c$（ $c$ 为常数），则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $\left|f^{2}(x) f^{\prime}(x)\right| \leqslant f^{2}(x) c$ ，所以 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收玫。
由 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}\left(\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{3}(x)-f^{3}(0)\right)$ 得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{3}(x)$ 存在。于是 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，进一步 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{2}(x)$ 也存在．由题 1 知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{2}(x)=0$ ，故 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用已知条件估计被积函数
由已知 $|f'(x)| \leq c$，且 $f^2(x) \geq 0$，可得 $|f^2(x) f'(x)| \leq f^2(x) c$。由于 $\int_0^{+\infty} f^2(x) dx$ 收敛，根据比较判别法，$\int_0^{+\infty} f^2(x) f'(x) dx$ 绝对收敛，从而收敛。
公式：$|f^2(x) f'(x)| \leq c f^2(x)$
提示：注意比较判别法要求被积函数非负，这里取绝对值后满足条件。
步骤 2/5
目标：计算积分并得到极限存在性
计算 $\int_0^{+\infty} f^2(x) f'(x) dx$。注意到 $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} f^3(x) \right) = f^2(x) f'(x)$，因此 $\int_0^A f^2(x) f'(x) dx = \frac{1}{3} (f^3(A) - f^3(0))$。令 $A \to +\infty$，由积分收敛知极限 $\lim_{A \to +\infty} \frac{1}{3} (f^3(A) - f^3(0))$ 存在，从而 $\lim_{x \to +\infty} f^3(x)$ 存在。
公式：$\int f^2 f' dx = \frac{1}{3} f^3 + C$
提示：注意积分收敛意味着极限存在，但需确认极限是有限值。
步骤 3/5
目标：由立方极限推出函数极限存在
由于 $\lim_{x \to +\infty} f^3(x)$ 存在，记该极限为 $L$。则 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sqrt[3]{L}$，因为立方根函数连续。因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在，记为 $a$。
公式：$\lim f^3 = L \Rightarrow \lim f = \sqrt[3]{L}$
提示：注意立方根是连续函数，极限可以交换次序。
步骤 4/5
目标：利用已知结论得到平方极限为零
由题目前置条件（题1）或常见结论：若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) dx$ 收敛且 $\lim_{x \to +\infty} f^2(x)$ 存在，则 $\lim_{x \to +\infty} f^2(x) = 0$。因为否则积分发散。这里 $\lim f^2 = a^2$ 存在，故 $a^2 = 0$。
公式：若 $\int_0^{+\infty} g(x) dx$ 收敛且 $\lim g(x)$ 存在，则极限为0。
提示：注意这里 $g(x)=f^2(x)$ 非负，极限存在且积分收敛，极限必为0。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
由 $a^2 = 0$ 得 $a = 0$，即 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$。
提示：注意平方为零推出本身为零。
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