中册 5.3 与反常积分有关的极限 第9题
📝 题目
9．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\int_{a}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，则存在数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} f\left(x_{n}\right)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫及柯西收玫准则有：
对正数1，存在 $x_{1}>1$ 使 $\int_{x_{1}}^{2 x_{1}}|f(x)| \mathrm{d} x<1$ ．
对正数 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ，存在 $x_{2}>\max \left\{2 x_{1}, 2\right\}$ 使 $\displaystyle \int_{x_{2}}^{2 x_{2}}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{1}{2}$ ．
对正数 $\displaystyle \frac{1}{n}$ ，存在 $x_{n}>\max \left\{2 x_{n-1}, n\right\}$ 使 $\displaystyle \int_{x_{n}}^{2 x_{n}}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{1}{n}$ ．
如此进行下去得到严格单调增加的数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \int_{x_{n}}^{2 x_{n}}|f(x)| \mathrm{d} x<\frac{1}{n}$ ．由中值定理存在 $x_{n}^{\prime} \in\left(x_{n}, 2 x_{n}\right)$ 使 $\int_{x_{n}}^{2 x_{n}}|f(x)| \mathrm{d} x=x_{n}\left|f\left(x_{n}^{\prime}\right)\right|$ 。于是
$$
x_{n}\left|f\left(x_{n}^{\prime}\right)\right|
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用柯西收敛准则构造数列
由 $\int_a^{+\infty} |f(x)| \, dx$ 收敛及柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>a$，使得对任意 $x_2>x_1>X$，有 $\int_{x_1}^{x_2} |f(x)| \, dx < \varepsilon$。特别地，取 $\varepsilon_n = \frac{1}{n}$，并令 $x_n$ 满足 $x_n > \max\{2x_{n-1}, n\}$，使得 $\int_{x_n}^{2x_n} |f(x)| \, dx < \frac{1}{n}$。
公式：柯西收敛准则：$\forall \varepsilon>0, \exists X>a, \forall x_2>x_1>X: \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| \, dx < \varepsilon$
提示：注意构造时需保证 $x_n$ 严格递增且趋于无穷，同时区间长度随 $x_n$ 增大而增大。
步骤 2/4
目标：应用积分中值定理
由于 $f(x)$ 在 $[x_n, 2x_n]$ 上连续，由积分中值定理，存在 $\xi_n \in [x_n, 2x_n]$，使得 $\int_{x_n}^{2x_n} |f(x)| \, dx = (2x_n - x_n) |f(\xi_n)| = x_n |f(\xi_n)|$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b f(x) \, dx = (b-a) f(\xi)$，其中 $\xi \in [a,b]$
提示：注意中值定理要求被积函数连续，此处 $|f(x)|$ 连续。
步骤 3/4
目标：建立不等式关系
由 $\xi_n \in [x_n, 2x_n]$ 得 $x_n \leq \xi_n \leq 2x_n$，因此 $x_n |f(\xi_n)| \leq \xi_n |f(\xi_n)| \leq 2x_n |f(\xi_n)|$。结合 $\int_{x_n}^{2x_n} |f(x)| \, dx = x_n |f(\xi_n)| < \frac{1}{n}$，可得 $\xi_n |f(\xi_n)| < \frac{2}{n}$。
提示：注意不等号方向：由 $x_n |f(\xi_n)| < 1/n$ 推出 $\xi_n |f(\xi_n)| < 2/n$。
步骤 4/4
目标：验证数列性质
令 $x_n' = \xi_n$，则 $\{x_n'\} \subset [a, +\infty)$，且由 $x_n \to +\infty$ 及 $x_n' \geq x_n$ 得 $\lim_{n\to\infty} x_n' = +\infty$。又由 $0 \leq |x_n' f(x_n')| = \xi_n |f(\xi_n)| < \frac{2}{n}$，根据夹逼定理得 $\lim_{n\to\infty} x_n' f(x_n') = 0$。
公式：夹逼定理：若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 且 $b_n \to 0$，则 $a_n \to 0$
提示：注意 $x_n' f(x_n')$ 可能为负，但绝对值趋于0，故原极限为0。
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