中册 5.3 与反常积分有关的极限 第11题
📝 题目
11．已知 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的正值连续函数，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<+\infty$ ．证明：（1）存在数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ 满足：$\left\{x_{n}\right\}$ 严格单调递增， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ 。北京大学 2009，云南大学 2011，华中师大 2010）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）类似题 10（1）可得存在数列 $\left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足条件 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{f\left(x_{n}\right)}=0$ ．于是 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=+\infty$.
（2）由 Schwarz 不等式得 $\displaystyle \int_{\frac{A}{2}}^{A} \mathrm{~d} x \leqslant\left(\int_{\frac{A}{2}}^{A} f(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{\frac{A}{2}}^{A} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{2}}$ ．从而
$$
\int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{\frac{A}{2}}^{A} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{A^{2}}{4}\left(\int_{\frac{A}{2}}^{A} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x\right)^{-1}
$$
由于 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，所以 $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \int_{\frac{A}{2}}^{A} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=0$ ．
由 $\displaystyle \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{1}{4}\left(\int_{\frac{A}{2}}^{A} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x\right)^{-1} \rightarrow+\infty, A \rightarrow+\infty$ 得 $\displaystyle \lim _{A \rightarrow+\infty} \frac{1}{A^{2}} \int_{0}^{A} f(x) \mathrm{d} x=+\infty$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造数列并证明其性质
由于 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx < +\infty$，由反常积分收敛的必要条件，对任意 $n \in \mathbb{N}$，存在 $x_n > n$ 使得 $\frac{1}{f(x_n)} < \frac{1}{n}$。取 $x_1$ 满足 $x_1 > 1$ 且 $\frac{1}{f(x_1)} < 1$，然后归纳地取 $x_{n+1} > \max\{x_n, n+1\}$ 且 $\frac{1}{f(x_{n+1})} < \frac{1}{n+1}$。则 $\{x_n\}$ 严格单调递增，$\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty$，且 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{f(x_n)} = 0$，从而 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = +\infty$。
提示：注意数列的严格单调递增性需要保证，可以通过取 $x_{n+1} > x_n$ 实现。
步骤 2/5
目标：应用Schwarz不等式
对任意 $A > 0$，考虑区间 $[A/2, A]$。由Schwarz不等式：
$$\int_{A/2}^A 1 \cdot 1 \, dx \leq \left( \int_{A/2}^A f(x) \, dx \right)^{1/2} \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right)^{1/2}.$$
左边等于 $A/2$，因此
$$\frac{A}{2} \leq \left( \int_{A/2}^A f(x) \, dx \right)^{1/2} \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right)^{1/2}.$$
公式：Schwarz不等式：$\left(\int_a^b u v\, dx\right)^2 \leq \int_a^b u^2 dx \int_a^b v^2 dx$
提示：注意Schwarz不等式的应用条件：$f$ 和 $1/f$ 均为正连续函数，平方可积。
步骤 3/5
目标：推导下界估计
由上述不等式两边平方得：
$$\frac{A^2}{4} \leq \left( \int_{A/2}^A f(x) \, dx \right) \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right).$$
因此
$$\int_{A/2}^A f(x) \, dx \geq \frac{A^2}{4} \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right)^{-1}.$$
由于 $f(x) > 0$，有 $\int_0^A f(x) \, dx \geq \int_{A/2}^A f(x) \, dx$，故
$$\int_0^A f(x) \, dx \geq \frac{A^2}{4} \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right)^{-1}.$$
提示：注意不等号方向：由 $\int_0^A \geq \int_{A/2}^A$ 得到下界。
步骤 4/5
目标：利用收敛性证明尾部积分趋于零
由于 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx$ 收敛，其尾部积分趋于零，即
$$\lim_{A\to +\infty} \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx = 0.$$
这是因为 $\int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} dx \leq \int_{A/2}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} dx \to 0$ 当 $A\to +\infty$。
提示：注意：$\int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} dx$ 是收敛积分的一部分，其极限为0。
步骤 5/5
目标：证明极限为无穷大
由第三步的不等式，两边除以 $A^2$ 得：
$$\frac{1}{A^2} \int_0^A f(x) \, dx \geq \frac{1}{4} \left( \int_{A/2}^A \frac{1}{f(x)} \, dx \right)^{-1}.$$
当 $A\to +\infty$ 时，右边分母趋于0，因此右边趋于 $+\infty$，从而左边也趋于 $+\infty$，即
$$\lim_{A\to +\infty} \frac{1}{A^2} \int_0^A f(x) \, dx = +\infty.$$
提示：注意：分母趋于0时，倒数趋于无穷大，但需确保分母为正。
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