中册 5.3 与反常积分有关的极限 第12题
📝 题目
12．证明下列结论．
（1）设 $x>a$ 时 $g(x)>0, f(x)$ 和 $g(x)$ 在任意有限区间 $[a, b]$ 上可积， $\int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0$ ．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）设 $x>a$ 时，$g(x)>0, f(x), g(x)$ 在任何有限区间 $[a, b]$ 上可积， $\int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，且 $f(x)=o(g(x))(x \rightarrow+\infty)$ ．证明： $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$ ．
分析：即证 $\forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$ 时有 $\displaystyle \left|\frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}\right|<\varepsilon$ ．由 $g(x)>0$ ，需证
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
💡 答案解析
解题过程：
（1）已知 $x \rightarrow+\infty$ 时，$f(x)=o(g(x))$ ，所以 $\exists A_{0}>0, \forall x \geqslant A_{0}$ 时有 $\displaystyle |f(x)|<\frac{\varepsilon}{2} g(x)$ ．从而当 $x>A_{0}$时有
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right| \leqslant\left|\int_{a}^{A_{0}} f(t) \mathrm{d} t\right|+\int_{A_{0}}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t \leqslant\left|\int_{a}^{A_{0}} f(t) \mathrm{d} t\right|+\frac{\varepsilon}{2} \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
又 $\int_{a}^{+\infty} g(t) \mathrm{d} t$ 发散，故当 $x$ 充分大时有 $\displaystyle \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t>\frac{2}{\varepsilon}\left|\int_{a}^{A_{0}} f(t) \mathrm{d} t\right|$ 。从而
$$
\left|\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right|<\left(\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\right) \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t=\varepsilon \int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t
$$
所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ．
（2）由（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t}=0$ ，即 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t=o\left(\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t\right)(x \rightarrow+\infty)$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与目标
题目要求证明：当 $x \to +\infty$ 时，$f(x)=o(g(x))$ 且 $\int_a^{+\infty} g(x) dx$ 发散，则 $\int_a^x f(t) dt = o\left(\int_a^x g(t) dt\right)$。即证：$\forall \varepsilon>0, \exists M>0, \forall x>M$，有 $\left|\int_a^x f(t) dt\right| < \varepsilon \int_a^x g(t) dt$。
提示：注意 $g(x)>0$，所以分母为正，绝对值可直接处理。
步骤 2/7
目标：利用 $f=o(g)$ 得到局部控制
由 $f(x)=o(g(x))$ 知：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A_0>a$，使得当 $x \geq A_0$ 时，$|f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} g(x)$。
公式：$|f(x)| < \frac{\varepsilon}{2} g(x), \forall x \geq A_0$
提示：注意 $\varepsilon$ 是任意给定的正数，这里取 $\frac{\varepsilon}{2}$ 是为了后续放缩。
步骤 3/7
目标：拆分积分区间
将 $\int_a^x f(t) dt$ 拆分为 $[a, A_0]$ 和 $[A_0, x]$ 两部分：
$$\left|\int_a^x f(t) dt\right| \leq \left|\int_a^{A_0} f(t) dt\right| + \int_{A_0}^x |f(t)| dt.$$
公式：$\left|\int_a^x f(t) dt\right| \leq \left|\int_a^{A_0} f(t) dt\right| + \int_{A_0}^x |f(t)| dt$
提示：注意绝对值不等式：$|\int_a^x f| \leq \int_a^x |f|$，但这里拆开后第一部分是常数。
步骤 4/7
目标：利用 $g$ 控制 $f$ 的尾部积分
由第二步，当 $x > A_0$ 时，$\int_{A_0}^x |f(t)| dt < \frac{\varepsilon}{2} \int_{A_0}^x g(t) dt \leq \frac{\varepsilon}{2} \int_a^x g(t) dt$。
因此，
$$\left|\int_a^x f(t) dt\right| < \left|\int_a^{A_0} f(t) dt\right| + \frac{\varepsilon}{2} \int_a^x g(t) dt.$$
公式：$\int_{A_0}^x |f(t)| dt < \frac{\varepsilon}{2} \int_a^x g(t) dt$
提示：注意 $\int_{A_0}^x g(t) dt \leq \int_a^x g(t) dt$ 因为 $g>0$。
步骤 5/7
目标：利用 $\int g$ 发散消去常数项
由于 $\int_a^{+\infty} g(t) dt$ 发散，当 $x$ 充分大时，$\int_a^x g(t) dt$ 可以任意大。因此存在 $M > A_0$，使得当 $x > M$ 时，
$$\int_a^x g(t) dt > \frac{2}{\varepsilon} \left|\int_a^{A_0} f(t) dt\right|.$$
公式：$\int_a^x g(t) dt > \frac{2}{\varepsilon} \left|\int_a^{A_0} f(t) dt\right|$
提示：这里利用了发散性：$\lim_{x\to+\infty} \int_a^x g = +\infty$。
步骤 6/7
目标：合并得到最终不等式
当 $x > M$ 时，结合第四步和第五步：
$$\left|\int_a^x f(t) dt\right| < \frac{\varepsilon}{2} \int_a^x g(t) dt + \frac{\varepsilon}{2} \int_a^x g(t) dt = \varepsilon \int_a^x g(t) dt.$$
公式：$\left|\int_a^x f(t) dt\right| < \varepsilon \int_a^x g(t) dt$
提示：注意常数项被 $\frac{\varepsilon}{2} \int g$ 吸收。
步骤 7/7
目标：得出结论
由 $\varepsilon$ 的任意性，即得 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\int_a^x f(t) dt}{\int_a^x g(t) dt} = 0$，亦即 $\int_a^x f(t) dt = o\left(\int_a^x g(t) dt\right)$。
公式：$\lim_{x\to+\infty} \frac{\int_a^x f}{\int_a^x g} = 0$
提示：注意 $o$ 的定义：$f=o(g)$ 当且仅当 $\lim f/g = 0$。
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