中册 5.3 与反常积分有关的极限 第14题
📝 题目
14．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上可导，$f(1)=1$ ，且满足，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ ．试证： $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 存在，且 $\displaystyle A \leqslant 1+\frac{\pi}{4}$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 可微，$f(1)=1,\left(x^{2}+f^{2}(x)\right) f^{\prime}(x)=1$ ．证明：（1）$f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续，且 $f(x)<2$ ；（2）若 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)}$ 得 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调增加．当 $x \in[1,+\infty)$ 时 $f(x) \geqslant f(1)=1$ ．于是
$$
f(x)=f(1)+\int_{1}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t=1+\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}+f^{2}(t)} \mathrm{d} t \leqslant 1+\int_{1}^{x} \frac{1}{t^{2}+1} \mathrm{~d} t=1+\arctan x-\arctan 1<1+\frac{\pi}{4}<2
$$
这说明 $f(x)$ 单调增加有上界．因此 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 存在．
（2）由（1）知 $f(x)<2$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 存在．再由一致连续部分的题 9 知 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续．再由题 7 知 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明f(x)单调递增且有上界
由条件 $f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}>0$，故 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格单调递增。又 $f(1)=1$，所以 $f(x)\ge 1$。对 $f'(x)$ 从1到x积分得 $f(x)=1+\int_1^x \frac{1}{t^2+f^2(t)}dt$。由于 $f(t)\ge 1$，有 $\frac{1}{t^2+f^2(t)}\le \frac{1}{t^2+1}$，因此 $f(x)\le 1+\int_1^x \frac{1}{t^2+1}dt = 1+\arctan x - \frac{\pi}{4} < 1+\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = 1+\frac{\pi}{4}$。故 $f(x)$ 单调递增且有上界 $1+\frac{\pi}{4}$。
公式：f(x)=1+\int_1^x \frac{1}{t^2+f^2(t)}dt \le 1+\int_1^x \frac{1}{t^2+1}dt
提示：注意积分不等式方向：分母越大，分数越小。
步骤 2/5
目标：证明极限存在且上界估计
由单调有界定理，单调递增且有上界的函数必有极限，故 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$ 存在。由第一步的不等式，取极限得 $A\le 1+\frac{\pi}{4}$。
提示：单调有界定理是极限存在的重要判别法。
步骤 3/5
目标：证明f(x)一致连续
由(1)知 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增且有界，故极限 $A$ 存在。根据一致连续的常见结论：若函数在区间上单调且有界，则它一致连续（或利用导数有界：由 $f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}\le \frac{1}{x^2}$，但 $\frac{1}{x^2}$ 在 $[1,+\infty)$ 上可积，不能直接得导数有界；更严谨地，利用 $f(x)$ 单调有界，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M$ 使得 $x>M$ 时 $|f(x)-A|<\varepsilon/2$，再在 $[1,M+1]$ 上由 Cantor 定理得一致连续，从而整体一致连续）。
提示：一致连续的证明需分区间处理：有限闭区间上连续则一致连续，无穷区间上利用极限存在。
步骤 4/5
目标：证明f(x)<2
由第一步已得 $f(x)<1+\frac{\pi}{4}<2$，因为 $\frac{\pi}{4}\approx 0.785$，所以 $1+\frac{\pi}{4}<2$。
提示：数值估计：$\pi<4$，故 $\pi/4<1$。
步骤 5/5
目标：证明若积分收敛则极限为0
已知 $\int_1^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，且 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。由一致连续函数的积分收敛性质：若 $f$ 一致连续且广义积分收敛，则 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。反证：若极限不为0，则存在 $\varepsilon>0$ 和趋于无穷的点列 $x_n$ 使得 $f(x_n)\ge \varepsilon$，由一致连续性存在 $\delta>0$ 使得在 $[x_n-\delta,x_n+\delta]$ 上 $f(x)\ge \varepsilon/2$，导致积分发散。
提示：注意一致连续性是关键，否则反例存在（如连续但非一致连续的函数积分收敛但极限不为0）。
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