中册 5.3 与反常积分有关的极限 第15题
📝 题目
15．设 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有一阶连续的导数， $\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ ．证明： $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
对任意 $x \in \mathbf{R}$ 有 $2\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \leqslant f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}$ 。由比较判别法， $2 \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 绝对收玫， $2 \int_{0}^{+\infty} f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 也收敛。
由于 $2 \int_{0}^{+\infty} f(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left.f^{2}(x)\right|_{0} ^{+\infty}=\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{2}(x)-f^{2}(0)$ 。所以 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{2}(x)$ 存在。由一致连续部分的（2．2节）题 9 知 $f^{2}(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 一致连续．
由 $\int_{-\infty}^{+\infty}\left[f^{2}(x)+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=1$ 知 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收玫。由题 $7, \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{2}(x)=0$ 。同理 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f^{2}(x)=0$ 。于是 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用不等式建立积分收敛性
对任意 $x \in \mathbf{R}$，由基本不等式 $2|ab| \leq a^2+b^2$，取 $a=f(x), b=f'(x)$ 得 $2|f(x)f'(x)| \leq f^2(x)+(f'(x))^2$。由于 $\int_{-\infty}^{+\infty}[f^2(x)+(f'(x))^2]dx=1$ 收敛，由比较判别法知 $\int_{-\infty}^{+\infty}2|f(x)f'(x)|dx$ 收敛，从而 $\int_{0}^{+\infty}2f(x)f'(x)dx$ 绝对收敛。
公式：2|f(x)f'(x)| \leq f^2(x)+(f'(x))^2
提示：注意绝对收敛保证积分存在，但需确认积分限处理正确。
步骤 2/5
目标：计算积分得到极限存在性
计算 $\int_{0}^{+\infty} 2f(x)f'(x)dx = \lim_{A\to+\infty} \int_{0}^{A} 2f(x)f'(x)dx = \lim_{A\to+\infty} [f^2(x)]_{0}^{A} = \lim_{x\to+\infty} f^2(x) - f^2(0)$。由于该积分收敛（绝对收敛），故极限 $\lim_{x\to+\infty} f^2(x)$ 存在。
公式：\int_{0}^{+\infty} 2f(x)f'(x)dx = \lim_{x\to+\infty} f^2(x) - f^2(0)
提示：注意原函数为 $f^2(x)$，需验证 $f$ 可导且 $f'$ 连续以保证牛顿-莱布尼茨公式成立。
步骤 3/5
目标：证明 $f^2(x)$ 一致连续
由于 $f$ 有一阶连续导数，$f^2$ 的导数为 $2f(x)f'(x)$，且 $\int_{0}^{+\infty} |2f(x)f'(x)|dx$ 收敛，故 $2f(x)f'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上绝对可积。由一致连续性判定（或参考题9结论），$f^2(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。
提示：一致连续性的证明依赖于导数的绝对可积性，需注意区间为无穷区间。
步骤 4/5
目标：利用积分收敛和一致连续推出极限为零
已知 $\int_{0}^{+\infty} f^2(x)dx$ 收敛（因为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f^2(x)dx \leq 1$），且 $f^2(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续。由题7结论（若 $g$ 在 $[a,+\infty)$ 一致连续且 $\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛，则 $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$），得 $\lim_{x\to+\infty} f^2(x)=0$。
提示：注意题7的结论需要一致连续和积分收敛两个条件，缺一不可。
步骤 5/5
目标：处理负无穷方向并得到最终结论
同理，考虑 $\int_{-\infty}^{0} 2f(x)f'(x)dx$，可得 $\lim_{x\to-\infty} f^2(x)=0$。因此 $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$（因为 $\lim f^2=0$ 推出 $\lim f=0$）。
提示：注意 $\lim_{x\to\infty} f(x)=0$ 包含正负无穷两个方向，需分别证明。
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