中册 5.3 与反常积分有关的极限 第16题
📝 题目
16．设对任意实数 $A>0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[0, A]$ 上可积，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$（ $B$ 有限），证明： $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x=$ B．（华东师大 2015，苏州大学 2013，四川大学 2009，南开大学 2010，浙江大学 2009，山东大学 2010（ $B=2$ ））
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 $t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} \mathrm{~d} x=1$ 有 $\left|t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x} f(x) \mathrm{d} x-B\right|=\left|t \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t x}(f(x)-B) \mathrm{d} x\right|$ 。于是
$$
\left|\int_{0}^{+\infty} t \mathrm{e}^{-t x}(f(x)-B) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_{0}^{+\infty} t \mathrm{e}^{-t x}|f(x)-B| \mathrm{d} x=\int_{0}^{A} t \mathrm{e}^{-t x}|f(x)-B| \mathrm{d} x+\int_{A}^{+\infty} t \mathrm{e}^{-t x}|f(x)-B| \mathrm{d} x
$$
由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B, \forall \varepsilon>0, \exists A>0$ ，当 $x>A$ 时有 $\displaystyle |f(x)-B|<\frac{\varepsilon}{2}$ ．
又 $f(x)$ 在 $[0, A]$ 上可积，从而有界，设 $|f(x)| \leqslant M$ ．于是对上述 $\displaystyle \varepsilon>0, \exists \delta=\frac{\varepsilon}{2 A(M+|B|)}>0$ ，当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将目标极限转化为积分差的形式
注意到 $t \int_0^{+\infty} e^{-tx} dx = 1$，因此
$$\left| t \int_0^{+\infty} e^{-tx} f(x) dx - B \right| = \left| t \int_0^{+\infty} e^{-tx} (f(x)-B) dx \right|.$$
公式：$\int_0^{+\infty} t e^{-tx} dx = 1$
提示：确保正确使用积分恒等式，注意积分变量和参数t的关系。
步骤 2/6
目标：将积分拆分为两部分
将积分区间分为 $[0,A]$ 和 $[A,+\infty)$，其中 $A$ 待定：
$$\left| t \int_0^{+\infty} e^{-tx} (f(x)-B) dx \right| \leq \int_0^A t e^{-tx} |f(x)-B| dx + \int_A^{+\infty} t e^{-tx} |f(x)-B| dx.$$
提示：注意绝对值不等式 $|\int| \leq \int |\cdot|$ 的使用。
步骤 3/6
目标：利用极限条件控制无穷远处的误差
由 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=B$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $A>0$，当 $x>A$ 时 $|f(x)-B|<\varepsilon/2$。
提示：注意极限定义中 $\varepsilon$ 的选取，这里取 $\varepsilon/2$ 是为了后续合并。
步骤 4/6
目标：处理有限区间上的积分
由于 $f(x)$ 在 $[0,A]$ 上可积，故有界，设 $|f(x)|\leq M$，则 $|f(x)-B|\leq M+|B|$。于是
$$\int_0^A t e^{-tx} |f(x)-B| dx \leq t (M+|B|) \int_0^A e^{-tx} dx \leq t (M+|B|) A.$$
取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2A(M+|B|)}$，则当 $0
公式：$\int_0^A e^{-tx} dx \leq A$
提示：注意 $e^{-tx} \leq 1$ 在 $[0,A]$ 上成立，从而积分不超过 $A$。
步骤 5/6
目标：处理无穷区间上的积分
当 $x>A$ 时，$|f(x)-B|<\varepsilon/2$，因此
$$\int_A^{+\infty} t e^{-tx} |f(x)-B| dx \leq \frac{\varepsilon}{2} \int_A^{+\infty} t e^{-tx} dx = \frac{\varepsilon}{2} e^{-tA} \leq \frac{\varepsilon}{2}.$$
公式：$\int_A^{+\infty} t e^{-tx} dx = e^{-tA}$
提示：注意 $e^{-tA} \leq 1$，因此该部分小于 $\varepsilon/2$。
步骤 6/6
目标：合并两部分得到最终估计
综合以上，当 $0
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，以及 $\delta$ 的选取依赖于 $\varepsilon$ 和 $A$。
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