中册 5.3 与反常积分有关的极限 第17题
📝 题目
17．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上内闭可积，且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$a>1$ ．证明：
$\lim _{y \rightarrow 0^{+}} \int_{0}^{+\infty} a^{-y x} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
因为 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$a^{-x y}$ 关于 $x$ 单调，且对于 $y \in[0,+\infty)$ 一致有界，由阿贝尔判别法得 $\int_{0}^{+\infty} a^{-x y} f(x) \mathrm{d} x$ 关于 $y \in[0,+\infty)$ 一致收玫。
又因为 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛，所以 $\int_{0}^{+\infty}\left(a^{-y x}-1\right) f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛。于是 $\forall \varepsilon>0, \exists X>0$ ，使得当 $A \geqslant X$ 时，$\forall y \in[0,+\infty)$ 有 $\left|\int_{A}^{+\infty}\left(a^{-y x}-1\right) f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$ ．
特别地，$\forall y \in[0,+\infty)$ ，有 $\left|\int_{X}^{+\infty}\left(a^{-y x}-1\right) f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$ 。
由于 $f(x)$ 在 $[0, X]$ 上可积，因此 $f(x)$ 在 $[0, X]$ 上有界，$\exists M>0$ ，使得 $\forall x \in[0, X]$ 有 $|f(x)|0, \exists \delta>0$ ，使得当 $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与目标
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上内闭可积，且 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，$a>1$。要证明 $\lim_{y\to 0^+} \int_0^{+\infty} a^{-yx} f(x) dx = \int_0^{+\infty} f(x) dx$。即证明 $\lim_{y\to 0^+} \int_0^{+\infty} (a^{-yx}-1) f(x) dx = 0$。
提示：注意极限是 $y\to 0^+$，$a>1$ 保证 $a^{-yx}$ 关于 $x$ 单调递减。
步骤 2/5
目标：证明含参积分的一致收敛性
由于 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 收敛，且 $a^{-yx}$ 关于 $x$ 单调，且对 $y\in[0,+\infty)$ 一致有界（$0
公式：阿贝尔判别法
提示：一致收敛性用于后续对无穷远部分的估计。
步骤 3/5
目标：对无穷远部分进行估计
由一致收敛性，$\forall \varepsilon>0$，$\exists X>0$，使得当 $A\geq X$ 时，$\forall y\in[0,+\infty)$ 有 $\left|\int_A^{+\infty} (a^{-yx}-1) f(x) dx\right|<\varepsilon$。特别地，取 $A=X$，得 $\left|\int_X^{+\infty} (a^{-yx}-1) f(x) dx\right|<\varepsilon$。
提示：注意 $X$ 的选取与 $y$ 无关，这是由一致收敛性保证的。
步骤 4/5
目标：对有限区间进行估计
由于 $f(x)$ 在 $[0,X]$ 上可积，故存在 $M>0$ 使得 $|f(x)|\leq M$ 在 $[0,X]$ 上几乎处处成立。又 $\lim_{y\to 0^+} a^{-yX}=1$，故对 $\frac{\varepsilon}{MX}>0$，$\exists \delta>0$，当 $0
提示：注意 $a^{-yx}$ 关于 $x$ 递减，故 $1-a^{-yx}\leq 1-a^{-yX}$ 对 $x\in[0,X]$ 成立。
步骤 5/5
目标：合并估计并完成证明
当 $0
提示：注意最后一步利用了 $1-a^{-yx}\leq 1-a^{-yX}$ 对 $x\in[0,X]$ 成立。
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