中册 6.1 数项级数的敛散性 第5题

\section*{解题过程：} （1）由于 $\displaystyle \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n \ln (n+1)} \sim \frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \ln (n+1)}$ 发散，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ 发散． （2）由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sqrt{n} \cdot \frac{\ln n}{n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt{n}}=0$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ 收敛，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ 收敛。 （3）当 $p \leqslant 0$ 时，由于 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ，所以原级数发散。 当 $0

\frac{1}{n}(n>3)$ ，且级数 $\displaystyle \sum \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散． 当 $p>1$ 时，$\exists \delta>0$ ，使 $p-\delta>1$ ．因 $\ln n!\leqslant n \ln n$ ，所以 $\displaystyle \frac{\ln (n!)}{n^{p}} \leqslant \frac{n \ln n}{n^{p}}=\frac{\ln n}{n^{p-1}}$ ．又 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{p-\delta} \ln n}{n^{p}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n^{\delta}}=0$ ，且级数 $\displaystyle \sum \frac{1}{n^{p-\delta}}$ 收玫，故原级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛． （4）当 $x=0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n} \sim \frac{1}{n^{p}}$ ．所以当 $p>1$ 时原级数收敛，$p \leqslant 1$ 时原级数发散． 当 $x \neq 0$ 时,$\displaystyle \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}=\frac{1}{n^{p}} \mathrm{e}^{\ln \left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}} \sim \frac{1}{n^{p}} \mathrm{e}^{n\left(-\frac{x \ln n}{n}\right)}=\frac{1}{\mathrm{e}^{p \ln n}} \frac{1}{\mathrm{e}^{x \ln n}}=\frac{1}{\mathrm{e}^{(p+x) \ln n}}=\frac{1}{n^{p+x}}$ 。所以当 $p+x>1$ 时原级数收敛，$p+x \leqslant 1$ 时原级数发散． （5）记 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n(\ln n)^{a}}$ ．显然 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．由莱布尼兹判别法，$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n(\ln n)^{\alpha}}$收玫。 而对 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{\alpha}}$ ，由于 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha}} \mathrm{d} x=\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{1}{u^{\alpha}} \mathrm{d} u$ ，由积分判别法知：当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时，原级数条件收玫，当 $\alpha>1$ 时，原级数绝对收玫。 （6）当 $p>1$ 时，由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\ln ^{q} n}=0$ ，由比较判别法知原级数收敛。 当 $p=1$ 时，由 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{q}} \mathrm{~d} x=\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{1}{t^{q}} \mathrm{~d} t$ 及积分判别法知：当 $01$ 时，原级数收玫． 当 $01$ 时收敛，$q \leqslant 1$ 时发散，于是当 $q>1$ 时原级数收玫，当 $q \leqslant 1$ 时原级数发散． 当 $p<1$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}=\frac{1}{n \ln n} \cdot \frac{(\ln n)^{1-p}}{(\ln \ln n)^{q}}>\frac{1}{n \ln n}(n$ 充分大），所以当 $p<1$ 时，原级数发散。 当 $p>1$ 时，$\displaystyle \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}=\frac{1}{n(\ln n)^{1+\frac{p-1}{2}}} \cdot \frac{1}{(\ln n)^{\frac{p-1}{2}}(\ln (\ln n))^{q}}<\frac{1}{n(\ln n)^{\frac{p+1}{2}}}$ ．所以当 $p>1$ 时，原级数收玫．