中册 6.1 数项级数的敛散性 第6题
📝 题目
6．证明下列级数条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$ 单调增加趋于 e ，故 $\displaystyle \left\{\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}$ 单调减少趋于 0 ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 收敛。由题3（2）知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 发散，从而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ 条件收玫。
（2）记 $u_{n}=\sqrt[n]{n}-1$ ．当 $n \geqslant 3$ 时，$\{\sqrt[n]{n}\}$ 严格减少，因此有 $u_{n}>u_{n+1}$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ，从而级数
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 收玫。当 $n \geqslant 3$ 时有 $\displaystyle \sqrt[n]{n}-1=\mathrm{e}^{\frac{1}{n} \ln n}-1-\frac{1}{n} \ln n$ 。由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，所以 $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{n}-1)$ 发散。故 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 条件收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析通项单调性
已知数列 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 单调增加趋于 $e$，因此 $a_n = e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 单调减少趋于 $0$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$
提示：注意单调性方向：$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 递增，所以 $a_n$ 递减。
步骤 2/8
目标：应用莱布尼茨判别法
由于 $a_n$ 单调递减趋于 $0$，由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $a_n$ 单调递减趋于 $0$，则 $\sum (-1)^{n-1} a_n$ 收敛。
提示：确保 $a_n$ 单调递减，且极限为 $0$。
步骤 3/8
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left[e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]$。由题3(2)知该级数发散（因为 $a_n \sim \frac{e}{2n}$，与调和级数同发散）。
公式：$e - \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \sim \frac{e}{2n}$
提示：需要知道 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e - \frac{e}{2n} + O(\frac{1}{n^2})$。
步骤 4/8
目标：得出条件收敛结论
原级数收敛，但绝对值级数发散，因此原级数条件收敛。
提示：条件收敛的定义：级数收敛但非绝对收敛。
步骤 5/8
目标：分析第二题通项单调性
记 $u_n = \sqrt[n]{n} - 1$。当 $n \geq 3$ 时，$\{\sqrt[n]{n}\}$ 严格递减，因此 $u_n > u_{n+1}$，且 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$
提示：注意 $\sqrt[n]{n}$ 在 $n\geq 3$ 时单调递减。
步骤 6/8
目标：应用莱布尼茨判别法
由莱布尼茨判别法，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n$ 收敛。
提示：确认 $u_n$ 单调递减趋于 $0$。
步骤 7/8
目标：判断绝对收敛性
考虑绝对值级数 $\sum u_n$。当 $n\geq 3$ 时，$\sqrt[n]{n} - 1 = e^{\frac{\ln n}{n}} - 1 \sim \frac{\ln n}{n}$。由于 $\sum \frac{\ln n}{n}$ 发散（比较判别法，与 $\frac{1}{n}$ 比较），故 $\sum u_n$ 发散。
公式：$e^x - 1 \sim x$ 当 $x\to 0$
提示：注意 $\frac{\ln n}{n} \to 0$，但级数发散。
步骤 8/8
目标：得出条件收敛结论
原级数收敛，但绝对值级数发散，因此原级数条件收敛。
提示：条件收敛的判定：收敛且非绝对收敛。
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