中册 6.1 数项级数的敛散性 第7题
📝 题目
7．讨论下列级数的玫散性，
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $(a=\mathrm{e})$ ；$a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$a=1$ ：宁波大学 2004；$a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）记 $\displaystyle u_{n}=\frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} \cdot(n+1)!} \cdot \frac{3^{n} \cdot n!}{n^{n}}=\frac{1}{3} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{\mathrm{e}}{3}<1$ ．故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$收玫。
（2）记 $\displaystyle u_{n}=n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{|a|}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{|a|}{\mathrm{e}}$ ．
于是当 $|a|<\mathrm{e}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ 绝对收玫；
当 $|a|>\mathrm{e}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ 发散；
当 $|a|=\mathrm{e}$ 时，$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}>1$ ，级数发散．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断级数（1）的收敛性：应用比值判别法
记 $u_n = \frac{n^n}{3^n n!}$，计算比值 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$：
$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!} \cdot \frac{3^n n!}{n^n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)n^n} = \frac{1}{3} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$
公式：比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$，若 $\rho<1$ 则收敛，$\rho>1$ 则发散。
提示：注意化简时 $(n+1)! = (n+1)n!$，以及 $(n+1)^{n+1} = (n+1)(n+1)^n$。
步骤 2/5
目标：计算极限并判断级数（1）的收敛性
$$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{3} \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \frac{e}{3} < 1.$$ 因此，由比值判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n n!}$ 收敛。
公式：$\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$
提示：注意 $e/3 \approx 0.906$，确实小于1。
步骤 3/5
目标：判断级数（2）的收敛性：应用比值判别法
记 $u_n = n! \left(\frac{a}{n}\right)^n$，计算比值绝对值：
$$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{(n+1)! |a|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n! |a|^n} = |a| \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{|a|}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}.$$
公式：比值判别法（绝对值形式）
提示：注意 $a$ 可能为负数，因此取绝对值。
步骤 4/5
目标：计算极限并讨论参数 $a$ 的三种情况
$$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{|a|}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{|a|}{e}.$$ 因此：
- 当 $|a| < e$ 时，极限小于1，级数绝对收敛；
- 当 $|a| > e$ 时，极限大于1，级数发散；
- 当 $|a| = e$ 时，极限等于1，比值判别法失效，需进一步分析。
公式：$\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$
提示：注意 $a$ 是参数，需分情况讨论。
步骤 5/5
目标：处理边界情况 $|a|=e$：判断级数发散
当 $|a|=e$ 时，$\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \frac{e}{(1+1/n)^n} > 1$（因为 $(1+1/n)^n < e$ 对所有 $n$ 成立），因此 $|u_{n+1}| > |u_n|$，通项不趋于0，级数发散。
公式：级数收敛的必要条件：$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$
提示：注意即使比值判别法失效，仍可通过通项不趋于0判断发散。
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