中册 6.1 数项级数的敛散性 第8题
📝 题目
8．判断下列级数的玫散性和绝对收玫性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $\displaystyle u(x)=\frac{x^{n}}{n^{p}}$ ，当 $x=0$ 时，显然级数收敛．
当 $x \neq 0$ 时，因 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|u_{n+1}(x)\right|}{\left|u_{n}(x)\right|}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)|x|=|x|$ ，所以当 $|x|<1$ 时，原级数绝对收敛，当 $|x|>1$时，原级数发散；
当 $x=-1, p \leqslant 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}$ 条件收敛，当 $x=-1, p>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{p} \frac{1}{n^{p}}$ 绝对收敛；当 $x=1, p \leqslant 1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 发散，当 $x=1, p>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 绝对收敛。
（2）当 $p \leqslant 0$ 时，$u_{n}$ 不趋于 0 ，原级数发散；
当 $p>1$ 时，$\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{p}}$ ，原级数绝对收敛；
当 $0
1$ 时，原级数绝对收敛；当 $0
1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ 收敛，且绝对收敛； 当 $0
1$ 时，$\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n}}{p^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{p}}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ 收敛，且绝对收敛； 当 $0
1$ 时，原级数绝对收敛；当 $0
1$ 时原级数绝对收敛，当 $\displaystyle \frac{1}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析级数(1)的收敛性
设 $u_n(x)=\frac{x^n}{n^p}$。当 $x=0$ 时，级数显然收敛。当 $x\neq 0$ 时，由比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}(x)|}{|u_n(x)|}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^p}{(n+1)^p}|x|=|x|$。因此，当 $|x|<1$ 时绝对收敛，$|x|>1$ 时发散。边界情况：$x=1$ 时，级数为 $\sum \frac{1}{n^p}$，$p>1$ 绝对收敛，$p\le 1$ 发散；$x=-1$ 时，级数为 $\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$，$p>1$ 绝对收敛，$0
公式：比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|}=|x|$
提示：注意边界 $x=\pm 1$ 需要单独讨论，不能直接使用比值判别法。
步骤 2/7
目标：分析级数(2)的收敛性
级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{n}}}$。当 $p\le 0$ 时，通项不趋于0，发散。当 $p>1$ 时，$\left|\frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{n}}}\right|\le \frac{1}{n^p}$，由比较判别法知绝对收敛。当 $0
公式：阿贝尔判别法：若 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 单调有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：注意 $p\le 0$ 时通项不趋于0，这是发散的直接原因。
步骤 3/7
目标：分析级数(3)的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$。与(2)类似：当 $p\le 0$ 时通项不趋于0，发散；当 $p>1$ 时，$\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-1/n}}\right|\le \frac{1}{n^{p-1}}$，但 $p-1>0$ 不一定大于1，需更精细分析。实际上，$n^{p-1/n}=n^p/n^{1/n}$，$n^{1/n}\to 1$，故与 $\frac{1}{n^p}$ 同阶。因此 $p>1$ 时绝对收敛，$0
公式：比较判别法：$\frac{1}{n^{p-1/n}} \sim \frac{1}{n^p}$
提示：注意 $n^{1/n}\to 1$，因此 $n^{p-1/n}$ 与 $n^p$ 同阶。
步骤 4/7
目标：分析级数(4)的收敛性
级数 $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$。由于 $n^{\frac{1}{\ln n}}=e^{\frac{\ln n}{\ln n}}=e$，故 $\frac{1}{n^{p+1/\ln n}}=\frac{1}{n^p e}$。因此级数等价于 $\frac{1}{e}\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$。所以当 $p>1$ 时绝对收敛，$0
公式：$n^{\frac{1}{\ln n}}=e$
提示：注意 $n^{1/\ln n}=e$ 是常数，因此级数本质上就是 $\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$ 乘以常数。
步骤 5/7
目标：分析级数(5)的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$。改写为 $\sum \frac{(-1)^n}{n^p} \cdot \frac{1}{n^{1/\sqrt{n}}}$，其中 $n^{1/\sqrt{n}}=e^{\frac{\ln n}{\sqrt{n}}}\to 1$。当 $p>1$ 时，$\left|\frac{(-1)^n}{n^{p+1/\sqrt{n}}}\right|\le \frac{1}{n^p}$，绝对收敛。当 $0
公式：阿贝尔判别法
提示：注意 $\frac{1}{n^{1/\sqrt{n}}}$ 的单调性需要验证，但最终不影响结论。
步骤 6/7
目标：分析级数(6)的收敛性
级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{[n+(-1)^n]^p}$。展开：$\frac{(-1)^n}{n^p(1+\frac{(-1)^n}{n})^p}=\frac{(-1)^n}{n^p}\left(1-\frac{p(-1)^n}{n}+o(\frac{1}{n})\right)=\frac{(-1)^n}{n^p}-\frac{p}{n^{p+1}}+o(\frac{1}{n^{p+1}})$。因此通项与 $\frac{(-1)^n}{n^p}$ 同阶，且 $\frac{1}{n^{p+1}}$ 项绝对收敛当 $p+1>1$ 即 $p>0$。所以当 $p>1$ 时绝对收敛，$0
公式：泰勒展开：$(1+\frac{(-1)^n}{n})^{-p}=1-\frac{p(-1)^n}{n}+O(\frac{1}{n^2})$
提示：注意展开后 $\frac{p}{n^{p+1}}$ 项对收敛性的影响：当 $p>0$ 时该项绝对收敛，不影响条件收敛性。
步骤 7/7
目标：分析级数(7)的收敛性
级数 $\sum_{n=2}^\infty \ln\left(1+(-1)^n\frac{1}{n^p}\right)$。由泰勒展开：$\ln(1+\frac{(-1)^n}{n^p})=\frac{(-1)^n}{n^p}-\frac{1}{2n^{2p}}+o(\frac{1}{n^{2p}})$。因此级数收敛性由 $\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$ 和 $\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 决定。当 $p>1$ 时，$\sum \frac{(-1)^n}{n^p}$ 绝对收敛，$\sum \frac{1}{n^{2p}}$ 绝对收敛，故原级数绝对收敛。当 $\frac{1}{2}1$），故原级数条件收敛。当 $0
公式：泰勒展开：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
提示：注意 $p$ 的临界值：$p>1$ 绝对收敛，$1/2
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