中册 6.1 数项级数的敛散性 第9题
📝 题目
9．讨论级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $p>1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{p}}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故原级数发散．
当 $p=1$ 时，级数为交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ，由莱布尼兹判别法，原级数收玫．
（2）考虑级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}\right)$ ．
设 $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ 的部分和数列为 $\left\{S_{n}\right\}$ ，级 数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}\right)$ 的部分和数列为 $\left\{T_{n}\right\}$ ，则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的偶子列。
显然，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}<0$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}\right)$ 为负项级数．
因 $\displaystyle -\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{2 n}\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}\right)=-\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{2 n}}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{\sqrt[3]{2 n}}{\sqrt[3]{2 n}}\right)=1$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}$ 发 散，故 级 数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)\left(\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}\right)$ 发 散 ．从 而 级 数 $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$发散。
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：分析级数(1)的通项结构
级数(1)为：$1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots$，通项可写为：$a_{2n-1}=\frac{1}{2n-1}$，$a_{2n}=-\frac{1}{(2n)^{p}}$，$n=1,2,\dots$。
提示：注意奇数项和偶数项形式不同，需分别处理。
步骤 2/9
目标：讨论级数(1)的绝对收敛性
考虑绝对值级数：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{(2n)^{p}}\right)$。由于$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}$发散（与调和级数同阶），而$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{p}}$当$p>1$时收敛，当$p\leq 1$时发散。因此绝对值级数发散，原级数不绝对收敛。
公式：调和级数发散：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散；$p$-级数：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$当$p>1$收敛，$p\leq 1$发散。
提示：注意奇数项构成的级数发散，即使偶数项收敛，整体绝对值级数仍发散。
步骤 3/9
目标：讨论级数(1)的条件收敛性（p=1情况）
当$p=1$时，级数为交错调和级数：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$。满足莱布尼茨判别法条件：通项绝对值单调递减趋于0，故级数收敛。由于不绝对收敛，所以条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若交错级数$\sum(-1)^{n-1}b_n$满足$b_n\downarrow 0$，则收敛。
提示：注意p=1时偶数项指数为1，与奇数项一致，形成交错调和级数。
步骤 4/9
目标：讨论级数(1)的收敛性（p≠1情况）
当$p\neq 1$时，考虑部分和$S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{(2k)^{p}}\right)$。由于$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}\sim \frac{1}{2}\ln n$发散，而$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k)^{p}}$当$p>1$收敛，当$p<1$发散但阶数低于$\ln n$，因此$S_{2n}\to +\infty$（当$p>1$）或$S_{2n}\to -\infty$（当$p<1$），故级数发散。
公式：调和级数部分和：$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\sim \ln n+\gamma$。
提示：注意p>1时偶数项收敛，奇数项发散导致整体发散；p<1时两者均发散但奇数项发散更快。
步骤 5/9
目标：总结级数(1)的收敛性
级数(1)当$p=1$时条件收敛，当$p\neq 1$时发散。
提示：注意只有p=1时才是交错调和级数，其他情况均发散。
步骤 6/9
目标：分析级数(2)的通项结构
级数(2)为：$1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots$，通项：$a_{2n-1}=\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$，$a_{2n}=-\frac{1}{\sqrt[3]{2n}}$。
提示：注意奇数项指数为1/2，偶数项指数为1/3。
步骤 7/9
目标：讨论级数(2)的绝对收敛性
绝对值级数为$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2n-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2n}}\right)$。由于$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$，而$\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$发散（$p=1/2<1$），故绝对值级数发散，原级数不绝对收敛。
公式：p-级数：$\sum\frac{1}{n^{p}}$当$p\leq 1$发散。
提示：注意奇数项和偶数项对应的p均小于1，故绝对值级数发散。
步骤 8/9
目标：讨论级数(2)的条件收敛性（利用部分和子列）
考虑偶子列$S_{2n}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}\right)$。由于$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}<0$（因为$\sqrt{2k-1}>\sqrt[3]{2k}$对充分大的k成立），故$S_{2n}$为负项级数的部分和。比较：$\lim_{k\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}-\frac{1}{\sqrt{2k-1}}}{\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}}=1$，而$\sum\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}$发散，故$\sum\left(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2k}}\right)$发散到$-\infty$，从而$S_{2n}\to -\infty$。又因为奇数项趋于0，故原级数发散。
公式：极限比较判别法：若$\lim\frac{a_n}{b_n}=c\neq 0$，则$\sum a_n$与$\sum b_n$同敛散。
提示：注意偶子列发散到负无穷，且奇数项趋于0，但整体级数仍发散。
步骤 9/9
目标：总结级数(2)的收敛性
级数(2)发散，既不绝对收敛也不条件收敛。
提示：注意交错级数不一定收敛，需验证莱布尼茨条件。
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