中册 6.1 数项级数的敛散性 第11题
📝 题目
11．讨论下列级数的玫散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $I$ 的条件收敛域；（2）求 $I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
💡 答案解析
解题过程：
（1）因 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n}$ 发散，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
又因 $\ln \left(1+a_{n}\right) \sim a_{n},(n \rightarrow \infty)$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 发散．
（2）当 $\displaystyle 0
1$ 时，$\displaystyle \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}=\frac{1}{n^{x}}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n} \sim \frac{1}{n^{x}} \mathrm{e}^{x}$ ．因为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 收玫，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 收敛． 综上，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 收敛域为 $(1,+\infty)$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析级数∑a_n的敛散性
将$a_n$拆分为两项：$a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2n}$。级数$\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$是交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛；而$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n}$是调和级数，发散。收敛级数与发散级数的和发散，故$\sum a_n$发散。
公式：莱布尼茨判别法：若$b_n$单调递减趋于0，则$\sum (-1)^n b_n$收敛。
提示：注意：收敛+发散=发散，但收敛+收敛=收敛，发散+发散不确定。
步骤 2/8
目标：分析级数∑ln(1+a_n)的敛散性
当$n\to\infty$时，$a_n\to 0$，利用等价无穷小：$\ln(1+a_n) \sim a_n$。由于$\sum a_n$发散，且$a_n$与$\ln(1+a_n)$同号（当n充分大时），故$\sum \ln(1+a_n)$也发散。
公式：$\ln(1+x) \sim x \quad (x\to 0)$
提示：等价无穷小替换需注意：仅当通项趋于0时可用，且需保证级数同号或使用比较判别法。
步骤 3/8
目标：讨论级数(2)的敛散性（p≤1/2）
级数通项为$\frac{(-1)^{n-1}}{n^p} - \frac{1}{2}\frac{1}{n^{2p}} + o\left(\frac{1}{n^{2p}}\right)$。当$0
公式：p-级数：$\sum \frac{1}{n^p}$收敛当且仅当$p>1$。
提示：注意$o\left(\frac{1}{n^{2p}}\right)$项不影响发散性，因为其绝对值小于$\frac{C}{n^{2p}}$。
步骤 4/8
目标：讨论级数(2)的敛散性（p>1/2）
当$p>\frac{1}{2}$时，$2p>1$，故$\sum \frac{1}{n^{2p}}$收敛。$\sum \frac{(-1)^{n-1}}{n^p}$也收敛（绝对收敛当p>1，条件收敛当1/2
公式：若$\sum u_n$和$\sum v_n$收敛，则$\sum (u_n+v_n)$收敛。
提示：注意$p>1$时原级数绝对收敛，但题目只问敛散性。
步骤 5/8
目标：化简级数I并求绝对收敛域
注意到$\cos\frac{n\pi}{2}$：当n为奇数时为0，当n=2k时为$(-1)^k$。故$I = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{(2k)^p}{1+(2k)^q}$。绝对收敛即$\sum \frac{(2k)^p}{1+(2k)^q}$收敛。当$k\to\infty$，$\frac{(2k)^p}{1+(2k)^q} \sim \frac{1}{(2k)^{q-p}}$，故绝对收敛当且仅当$q-p>1$，即$p
公式：比较判别法：$\frac{(2k)^p}{1+(2k)^q} \sim \frac{1}{(2k)^{q-p}}$，$\sum \frac{1}{k^{q-p}}$收敛当$q-p>1$。
提示：注意$\cos\frac{n\pi}{2}$的周期性，只取偶数项。
步骤 6/8
目标：求I的条件收敛域
条件收敛要求原级数收敛但非绝对收敛。首先，当$p\geq q$时，通项不趋于0，发散。当$p
公式：莱布尼茨判别法：若$b_k$单调递减趋于0，则$\sum (-1)^k b_k$收敛。
提示：需验证$b_k=\frac{(2k)^p}{1+(2k)^q}$的单调性：当$p
步骤 7/8
目标：求级数(4)的收敛域（x≤0）
通项$\frac{(n+x)^n}{n^{n+x}}$。当$x<0$时，$n+x
公式：极限比较：$\frac{(n+x)^n}{n^{n+x}} = \frac{1}{n^x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$。
提示：注意$x<0$时$n^x$是负指数，趋于0。
步骤 8/8
目标：求级数(4)的收敛域（x>0）
当$x>0$时，$\frac{(n+x)^n}{n^{n+x}} = \frac{1}{n^x}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \sim \frac{e^x}{n^x}$（因为$(1+\frac{x}{n})^n \to e^x$）。故级数收敛当且仅当$\sum \frac{1}{n^x}$收敛，即$x>1$。当$0
公式：重要极限：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$。
提示：注意$x>0$时$(1+\frac{x}{n})^n$单调递增趋于$e^x$，故可放缩。
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