中册 6.1 数项级数的敛散性 第12题
📝 题目
12．若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 对任何 $x \in(0,2 \pi)$都收敛．（东华大学 2005（ $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, x=1$ ），东南大学 $\displaystyle 1996\left(a_{n}=\frac{1}{\ln n}, x=1\right)$ ，浙江师大 2013（ $\displaystyle \left.a_{n}=\frac{1}{n^{p}}, x=1\right)$ ，复旦大学 1997
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \in(0,2 \pi)$ 时，由
$$
2 \sin \frac{x}{2}\left(\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right)=\left(\sin \frac{3}{2} x-\sin \frac{x}{2}\right)+\cdots+\left(\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \left(n-\frac{1}{2}\right) x\right)=\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \frac{x}{2}
$$
得
$$
\sum_{k=1}^{n} \cos k x=\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}\left(\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\sin \frac{x}{2}\right)
$$
从而
$$
\left|\sum_{k=1}^{n} \cos k x\right| \leqslant\left|\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}\right| \cdot\left|\left(\left|\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x\right|+\left|\sin \frac{x}{2}\right|\right) \leqslant\left|\frac{1}{\sin \frac{x}{2}}\right|\right.
$$
可见 $x \in(0,2 \pi)$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \cos k x$ 的部分和有界．由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 收玫。
同理可得级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析题目条件与目标
已知数列 $\{a_n\}$ 单调递减且 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，需要证明对任意 $x \in (0, 2\pi)$，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin nx$ 和 $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx$ 都收敛。
提示：注意 $x$ 的范围是开区间 $(0,2\pi)$，排除 $0$ 和 $2\pi$ 是因为在这些点 $\sin nx$ 和 $\cos nx$ 的部分和可能无界。
步骤 2/7
目标：推导余弦部分和的有界性
利用三角恒等式：$2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=1}^n \cos kx = \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x - \sin\frac{x}{2}$。
因此，当 $x \neq 0, 2\pi$ 时，$\sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x - \sin\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}}$。
公式：$2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=1}^n \cos kx = \sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x - \sin\frac{x}{2}$
提示：推导时注意裂项相消：$\sin\frac{3}{2}x - \sin\frac{x}{2} = 2\cos x \sin\frac{x}{2}$，但这里直接使用和差化积公式更简洁。
步骤 3/7
目标：估计余弦部分和的绝对值上界
由上式得 $\left|\sum_{k=1}^n \cos kx\right| \leq \frac{1}{2|\sin\frac{x}{2}|}\left(\left|\sin\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right| + \left|\sin\frac{x}{2}\right|\right) \leq \frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}$。
因此，对固定的 $x \in (0,2\pi)$，部分和数列 $\left\{\sum_{k=1}^n \cos kx\right\}$ 有界。
公式：$\left|\sum_{k=1}^n \cos kx\right| \leq \frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}$
提示：注意 $\sin\frac{x}{2} \neq 0$，因为 $x \in (0,2\pi)$，所以分母不为零。
步骤 4/7
目标：应用Dirichlet判别法于余弦级数
由条件，$\{a_n\}$ 单调递减趋于0，且 $\sum_{k=1}^n \cos kx$ 有界，根据Dirichlet判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx$ 收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $\{a_n\}$ 单调趋于0，且 $\sum_{k=1}^n b_k$ 有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：注意 $a_n$ 单调递减且趋于0，但题目未说明 $a_n$ 非负，实际上单调递减且趋于0意味着 $a_n \geq 0$（若 $a_n$ 为负，则单调递减不可能趋于0）。
步骤 5/7
目标：推导正弦部分和的有界性
类似地，利用恒等式：$2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=1}^n \sin kx = \cos\frac{x}{2} - \cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x$。
因此，$\sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}}$，从而 $\left|\sum_{k=1}^n \sin kx\right| \leq \frac{1}{|\sin\frac{x}{2}|}$。
公式：$2\sin\frac{x}{2}\sum_{k=1}^n \sin kx = \cos\frac{x}{2} - \cos\left(n+\frac{1}{2}\right)x$
提示：推导时同样使用和差化积，注意符号。
步骤 6/7
目标：应用Dirichlet判别法于正弦级数
由 $\{a_n\}$ 单调递减趋于0，且 $\sum_{k=1}^n \sin kx$ 有界，根据Dirichlet判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin nx$ 收敛。
提示：注意 $x$ 在 $(0,2\pi)$ 内，$\sin\frac{x}{2} \neq 0$，所以有界性成立。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，对任意 $x \in (0,2\pi)$，级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n \sin nx$ 和 $\sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx$ 都收敛。
提示：本题的关键是Dirichlet判别法，以及三角级数部分和有界的证明。
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