中册 6.1 数项级数的敛散性 第13题
📝 题目
13．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛？
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为 $\displaystyle \left|\frac{\sin n x}{n^{x}}\right| \leqslant \frac{1}{n^{x}}$ ，故当 $x>1$ 时，由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 收敛得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 绝对收敛。
当 $01$ 时，原级数绝对收玫， $02$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ 绝对收敛。
当 $0<\alpha \leqslant 2$ 时，由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin n$ 的部分和数列有界，$\displaystyle \left\{\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right\}$ 单调递减且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}=0$ ．由 Dirichlet 判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ 收玫。
又因为 $\displaystyle \left|\frac{\sin n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right| \geqslant \frac{\sin ^{2} n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}=\frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}-\frac{\cos 2 n}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ ，而且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2 n}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ 收敛，故 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n\right|$ 发散。
综上得，当 $\alpha>2$ 时，原级数绝对收玫， $0
1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}$ 绝对收玫， 当 $0
1$ 时，原级数绝对收玫， $0
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析级数(1)的绝对收敛性
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$，首先考虑绝对收敛。由于 $\left|\frac{\sin n x}{n^{x}}\right| \leq \frac{1}{n^{x}}$，当 $x>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^{x}}$ 收敛，故原级数绝对收敛。当 $x=0$ 时，级数为 $\sum \sin n x = 0$，绝对收敛。
公式：$\left|\frac{\sin n x}{n^{x}}\right| \leq \frac{1}{n^{x}}$
提示：注意 $x=0$ 时级数每一项为0，需单独讨论。
步骤 2/8
目标：分析级数(1)的条件收敛性
当 $0
公式：$\left|\frac{\sin n x}{n^{x}}\right| \geq \frac{\sin^{2} n x}{n} = \frac{1}{2n} - \frac{\cos 2n x}{2n}$
提示：注意 $\sin^2 nx$ 的放缩，以及 $\sum \frac{\cos 2nx}{2n}$ 的收敛性由Dirichlet判别法保证。
步骤 3/8
目标：分析级数(2)的绝对收敛性
级数 $\sum (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n = \sum \frac{\sin n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$。由于 $\left|\frac{\sin n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right| \leq \frac{1}{2^{\alpha} n^{\alpha/2}}$，当 $\alpha>2$ 时，$\sum \frac{1}{n^{\alpha/2}}$ 收敛，故原级数绝对收敛。
公式：$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} = \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$
提示：注意 $\sqrt{n+1}+\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}$，从而 $\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}} \sim \frac{1}{2^{\alpha} n^{\alpha/2}}$。
步骤 4/8
目标：分析级数(2)的条件收敛性
当 $0<\alpha\leq 2$ 时，$\sum \sin n$ 的部分和有界，$\left\{\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right\}$ 单调递减趋于0，由Dirichlet判别法知原级数收敛。再证非绝对收敛：利用 $\left|\frac{\sin n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right| \geq \frac{\sin^{2} n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}} = \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}} - \frac{\cos 2n}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$，而 $\sum \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ 发散（$\alpha\leq 2$ 时 $\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}} \sim \frac{1}{2^{\alpha} n^{\alpha/2}}$，$\alpha/2\leq 1$ 发散），$\sum \frac{\cos 2n}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ 收敛，故绝对值级数发散。因此原级数条件收敛。
公式：$\left|\frac{\sin n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}\right| \geq \frac{1}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}} - \frac{\cos 2n}{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$
提示：注意 $\sum \frac{\cos 2n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})^{\alpha}}$ 的收敛性由Dirichlet判别法得到。
步骤 5/8
目标：分析级数(3)的绝对收敛性
对于 $\sum \frac{\cos n x}{n^{p}}$，$x\in(0,\pi)$。由于 $\left|\frac{\cos n x}{n^{p}}\right| \leq \frac{1}{n^{p}}$，当 $p>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^{p}}$ 收敛，故原级数绝对收敛。
公式：$\left|\frac{\cos n x}{n^{p}}\right| \leq \frac{1}{n^{p}}$
提示：注意 $x\in(0,\pi)$ 保证 $\sin(x/2)\neq 0$，但此处未用到。
步骤 6/8
目标：分析级数(3)的条件收敛性
当 $0
公式：$\sum_{k=1}^{n} \cos kx = \frac{\sin((n+1/2)x)}{2\sin(x/2)} - \frac{1}{2}$
提示：注意 $\cos^2 nx$ 的放缩，以及 $\sum \frac{\cos 2nx}{2n}$ 的收敛性。
步骤 7/8
目标：分析级数(4)的收敛性
级数 $\sum (-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$。当 $x=k\pi$ 时，$\sin n x=0$，级数绝对收敛。当 $x\neq k\pi$ 时，利用 $(-1)^n \sin nx = \cos n\pi \sin nx = \frac{1}{2}[\sin n(\pi+x) + \sin n(\pi-x)]$，由Dirichlet判别法知原级数收敛。再证非绝对收敛：$\left|(-1)^n \frac{\sin n x}{n}\right| = \left|\frac{\sin n x}{n}\right| \geq \frac{\sin^2 n x}{n} = \frac{1-\cos 2n x}{2n}$，而 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散，$\sum \frac{\cos 2n x}{2n}$ 收敛，故绝对值级数发散。因此原级数条件收敛。
公式：$(-1)^n \sin nx = \frac{1}{2}[\sin n(\pi+x) + \sin n(\pi-x)]$
提示：注意 $x=k\pi$ 时需单独讨论。
步骤 8/8
目标：分析级数(5)的收敛性
级数 $\sum (-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin\frac{1}{\sqrt{n}}$。由于 $\left\{\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right\}$ 单调递减趋于0，$\sum (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 收敛（Leibniz），且 $\left\{\sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right\}$ 单调有界，由Abel判别法知原级数收敛。再证非绝对收敛：$\left|(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin\frac{1}{\sqrt{n}}\right| = \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{n}$，而 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，故绝对值级数发散。因此原级数条件收敛。
公式：$\frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{n}$
提示：注意 $\sin\frac{1}{\sqrt{n}} \sim \frac{1}{\sqrt{n}}$，从而乘积 $\sim \frac{1}{n}$。
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