中册 6.1 数项级数的敛散性 第14题
📝 题目
14．证明下列命题．
（1）设 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）对正数 $11$ ，于是 $\displaystyle \frac{1}{n^{a_{n}}} \leqslant \frac{1}{n^{p}}$ ，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$收玫。
（2）因 $\displaystyle \sqrt[n]{2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}}=2 a_{n}\left(1-a_{n}\right) \leqslant 2 \frac{1}{4}=\frac{1}{2}<1$ ，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收玫。
（3）由已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1, a_{n}$ 与 $\displaystyle n^{-2 n \sin \frac{1}{n}}$ 为等价无穷小量，故 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2 n \sin \frac{1}{n}}$ 同敛态。
又由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{1}{n}=1$ 得，当 $n$ 充分大时，$\displaystyle n \sin \frac{1}{n} \geqslant \frac{3}{4}$ ，于是 $\displaystyle 0 \leqslant n^{-2 n \sin \frac{1}{n}}=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{n \sin \frac{1}{n}} \leqslant\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{3}{4}} \leqslant \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ ．又级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}$ 收玫，由比较判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{-2 n \sin \frac{1}{n}}$ 收玫。从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用极限保号性确定下界
由于 $\lim_{n\to\infty} a_n = a > 1$，取 $p$ 满足 $1 < p < a$，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，$a_n > p$。因此 $\frac{1}{n^{a_n}} \leq \frac{1}{n^p}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} a_n = a > 1$ 时，$\exists N, \forall n>N: a_n > p > 1$
提示：注意 $p$ 必须大于1，否则 $\sum \frac{1}{n^p}$ 发散。
步骤 2/7
目标：应用比较判别法
因为 $p>1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_n}}$ 收敛。
公式：比较判别法：若 $0 \leq b_n \leq a_n$ 且 $\sum a_n$ 收敛，则 $\sum b_n$ 收敛。
提示：比较时需注意不等式方向，这里 $\frac{1}{n^{a_n}} \leq \frac{1}{n^p}$ 且 $\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛，故原级数收敛。
步骤 3/7
目标：利用根值判别法
设 $b_n = 2^n a_n^n (1-a_n)^n$，则 $\sqrt[n]{b_n} = 2 a_n (1-a_n)$。由于 $a_n \in (0,1)$，由均值不等式 $a_n(1-a_n) \leq \frac{1}{4}$，故 $\sqrt[n]{b_n} \leq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} < 1$。
公式：根值判别法：若 $\limsup \sqrt[n]{|a_n|} < 1$，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
提示：注意 $a_n(1-a_n)$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$，当 $a_n = \frac{1}{2}$ 时取到。
步骤 4/7
目标：应用根值判别法结论
由根值判别法，$\limsup \sqrt[n]{b_n} \leq \frac{1}{2} < 1$，故级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_n^n (1-a_n)^n$ 收敛。
提示：根值判别法适用于通项含 $n$ 次幂的情形。
步骤 5/7
目标：等价无穷小替换
由 $\lim_{n\to\infty} (n^{2n\sin\frac{1}{n}} a_n) = 1$ 得 $a_n \sim n^{-2n\sin\frac{1}{n}}$，故 $\sum a_n$ 与 $\sum n^{-2n\sin\frac{1}{n}}$ 同敛散。
公式：若 $a_n \sim b_n$，则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散（$b_n$ 不变号）。
提示：等价无穷小替换需注意 $b_n$ 不变号，这里 $n^{-2n\sin\frac{1}{n}} > 0$。
步骤 6/7
目标：估计指数大小
由于 $\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{1}{n} = 1$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$n\sin\frac{1}{n} \geq \frac{3}{4}$。于是 $n^{-2n\sin\frac{1}{n}} = (n^{-2})^{n\sin\frac{1}{n}} \leq (n^{-2})^{3/4} = n^{-3/2}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n\sin\frac{1}{n}=1$，$\sin x \sim x$ 当 $x\to 0$。
提示：注意 $n\sin\frac{1}{n}$ 的下界取 $\frac{3}{4}$ 是为了得到 $n^{-3/2}$，实际取任何大于 $\frac{1}{2}$ 的数均可。
步骤 7/7
目标：比较判别法判断收敛
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{-3/2}$ 收敛（$p=3/2>1$），由比较判别法，$\sum n^{-2n\sin\frac{1}{n}}$ 收敛，从而 $\sum a_n$ 收敛。
公式：$p$-级数：$\sum \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛。
提示：比较时注意不等式方向：$0 \leq n^{-2n\sin\frac{1}{n}} \leq n^{-3/2}$，且 $\sum n^{-3/2}$ 收敛，故原级数收敛。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。