中册 6.1 数项级数的敛散性 第15题
📝 题目
15．正项数列 $\left\{a_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}$ 的敛散性．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
不能判断级数的玫散性。取 $a_{n}=\sqrt[n]{n^{p}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=1, \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}}\right)^{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ ，随着 $p$ 值的不同，原级数的玫散性也不同。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件
已知正项数列 $\{a_n\}$ 满足 $\lim_{n\to\infty} a_n = a > 0$，需要讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a}{a_n}\right)^n$ 的敛散性。注意 $a$ 是极限值，且 $a>0$。
提示：注意 $a$ 是常数，不是数列项。
步骤 2/6
目标：尝试根值判别法
考虑根值判别法：计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{a}{a_n}\right)^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a}{a_n} = \frac{a}{a} = 1$。由于极限等于1，根值判别法失效，无法直接判断敛散性。
公式：根值判别法：$\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|} = l$，若 $l<1$ 收敛，$l>1$ 发散，$l=1$ 失效。
提示：根值判别法在极限为1时无法判断，需要其他方法。
步骤 3/6
目标：尝试比值判别法
考虑比值判别法：计算 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(a/a_{n+1})^{n+1}}{(a/a_n)^n} = \lim_{n\to\infty} \frac{a}{a_{n+1}} \cdot \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)^n$。由于 $a_n \to a$，$a_{n+1} \to a$，但指数 $n$ 导致极限不确定，比值判别法也失效。
公式：比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = l$，若 $l<1$ 收敛，$l>1$ 发散，$l=1$ 失效。
提示：比值判别法同样失效，因为极限可能为1或不存在。
步骤 4/6
目标：构造反例说明敛散性不确定
为了说明级数的敛散性不能由条件唯一确定，构造一个具体的数列例子。取 $a_n = \sqrt[n]{n^p}$，其中 $p$ 为实数。则 $\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} n^{p/n} = e^{\lim_{n\to\infty} (p\ln n)/n} = e^0 = 1$，满足条件（$a=1$）。此时级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{a_n}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^{p/n} = 1$
提示：注意 $a_n$ 必须为正项数列，且极限为 $a>0$，这里 $a=1$。
步骤 5/6
目标：分析反例的敛散性
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 是 $p$-级数，其敛散性取决于 $p$：当 $p>1$ 时收敛，当 $p \le 1$ 时发散。因此，对于不同的 $p$，原级数可以收敛也可以发散。例如，取 $p=2$ 得收敛级数，取 $p=1/2$ 得发散级数。
公式：$p$-级数：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$。
提示：注意 $p$ 可以取任意实数，从而得到不同敛散性。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在收敛和发散的例子，因此仅由条件 $\lim_{n\to\infty} a_n = a > 0$ 不能判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a}{a_n}\right)^n$ 的敛散性。
提示：注意反例中 $a=1$，但 $a$ 为任意正数时可通过缩放得到类似结论。
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