中册 6.1 数项级数的敛散性 第16题

解题分析：采用均值不等式及比较判别方法． \section*{解题过程：} （1）因为 $\displaystyle \left|a_{n} b_{n}\right| \leqslant \frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2}$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 均收玫，故 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收玫，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。 由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 收玫，因 $\displaystyle \left|\frac{a_{n}}{n}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ ，由比较原则，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫。 （2）由 $\displaystyle \left|\frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2 \alpha}}\right)$ 及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2 \alpha}},\left(\alpha>\frac{1}{2}\right)$ 收敛，可知当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收敛。 （3）由于 $\displaystyle \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ ，及 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 绝对收敛． （4）因 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x=-\left.\frac{1}{\ln x}\right|_{2} ^{+\infty}=\frac{1}{\ln 2}$ ，故由柯西积分判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{2} n}$ 收玫。 又 $\displaystyle \left|\frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}\right| \leqslant \frac{1}{2}\left(a_{n}^{2}+\frac{1}{n \ln ^{2} n}\right) \leqslant a_{n}^{2}+\frac{1}{n \ln ^{2} n}$ ，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收敛（绝对收敛）．