中册 6.1 数项级数的敛散性 第17题

\section*{解题过程：} （1）设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，所以当 $n$ 充分大时有 $0 \leqslant a_{n}<1$ ，即有 $a_{n}^{2} \leqslant a_{n}$ ，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫；反之，当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 不一定收玫，例如，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。 （2）由级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，末必有 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫．反例：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$ ，由交错级数的敛散性判别定理知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 收玫，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散。 若 $a_{n}>0$ ，上述现象不会发生，因为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}^{2}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，由比较判敛法的极限形式知，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 也收玫。 （3）因为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ，从而存在 $N>0$ ，使得当 $n>N$ 时有 $\left|u_{n}\right|<1$ ，于是 $\left|u_{n}^{3}\right|=u_{n}^{2}\left|u_{n}\right| \leqslant\left|u_{n}\right|$ ，由比较判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫。 （4）由正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫可知，存在 $N_{1} \in \mathbf{N}^{*}$ ，当 $n>N_{1}$ 时有 $\displaystyle 0 \leqslant a_{n}<\frac{1}{2}$ ，从而 $0 \leqslant a_{n}^{p} \leqslant a_{n}^{p-1} a_{n} \leqslant a_{n}$ ，由此立得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫。 利用几何算术平均不等式得 $$ \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}=\sqrt[k]{a_{n} \cdot\left(n^{-\frac{k}{k-1}}\right)^{k-1}} \leqslant \frac{a_{n}+(k-1) n^{-\frac{k}{k-1}}}{k} \leqslant \frac{1}{k} a_{n}+\frac{k-1}{k} n^{-\frac{k}{k-1}}, $$ 因为 $\displaystyle \frac{k}{k-1}>1$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{k-1}}$ 收玫，又由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k} a_{n}$ 收玫，故 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫。