中册 6.1 数项级数的敛散性 第18题

\section*{解题过程：} （1）因 $\left\{n a_{n}\right\}$ 有界，所以 $\exists M>0$ 使 $0 \leqslant n a_{n} \leqslant M(n=1,2, \cdots)$ ．于是 $\displaystyle a_{n}^{k} \leqslant \frac{M^{k}}{n^{k}}$ ．而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{M^{k}}{n^{k}}$ 收敛，由比较原则知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫。 （2）由条件知 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} a_{n}^{2}=a^{2}$ ，而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫，所以 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫。但 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 不一定收玫。 反例 1：$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散；反例 2：$\displaystyle a_{n}=(-1)^{n} \frac{1}{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛． （3）由 $\lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，对 $\displaystyle \varepsilon=-\frac{\lambda}{2}>0, \exists N \in \mathbf{N}$ ，当 $n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|n u_{n}-\lambda\right|<-\frac{\lambda}{2}$ ．进一步有 $$ 0<-\frac{\lambda}{2 n}<-u_{n}<-\frac{3 \lambda}{2 n} . $$ 级数 $\displaystyle \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{-\lambda}{2 n}$ 发散，于是级数 $\sum_{n=N+1}^{\infty}\left(-u_{n}\right)$ 发散，从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散。 （4）由 $\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，$\exists M>0$ 使得 $\left|b_{n}\right| \leqslant M$ ．又 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，故 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant k\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\left(n>N_{0}\right)$ ．于是当 $n>N_{0}$ 时有 $\displaystyle \left|a_{n} b_{n}\right| \leqslant M k\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}$ ． 因当 $\alpha>0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}$ 收敛．由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛． （5）由 $\left\{b_{n}\right\}$ 收玫，$\exists M>0$ 使得 $\left|b_{n}\right| \leqslant M$ 。于是 $\left|a_{n} b_{n}\right| \leqslant M\left|a_{n}\right|$ ．因级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收玫，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛． 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，结论不一定成立．如 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ 条件收玫，$\left\{b_{n}\right\}=\left\{(-1)^{n-1}\right\}$ 有界，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 发散。