中册 6.1 数项级数的敛散性 第22题

\section*{解题过程：} （1）因为数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调递增且有界的，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的极限存在，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ．又因为 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{x_{k}}-\frac{1}{x_{k+1}}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)=\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{a} . $$ 所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛。 （2）令 $\displaystyle u_{n}=\left|a_{n+1}-a_{n}\right|, v_{n}=\left|\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}\right|$ ．由于 $\displaystyle \frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{\left|a_{n+1}-a_{n}\right|}{\left|\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}\right|}=\left|a_{n+1} a_{n}\right| \rightarrow l^{2}(n \rightarrow+\infty)$ ，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 同为收玫或发散． 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l=1$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \frac{1}{n^{a_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{a_{n}-1}}=1$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，故级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 发散。 （3）因 $\displaystyle \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|\left(\left|a_{n}\right|+\left|a_{n-1}\right|\right) \leqslant \frac{1}{2}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|, n=2,3, \cdots$ ，所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为压缩数列，从而收玫．进一步有级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛。