中册 6.1 数项级数的敛散性 第23题
📝 题目
23．证明下列结论．
（1）设 $a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则由 $\displaystyle \frac{a_{n}}{1+a_{n}}0$ 知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}+1}$ 均为正项级数．
假设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}+1}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}+1}=0$ ．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a_{n}}}{\frac{1}{a_{n}+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{a_{n}}{a_{n}+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-\frac{1}{a_{n}+1}}=1$ ，从而级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，矛盾．得证．
（3）由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+a_{n}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}=\infty$ ，所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ．
假设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\frac{a_{n}}{a_{n}+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+1\right)=1$ ，从而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，矛盾．得证．
（4）由于 $\displaystyle \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}<\frac{a_{n}}{n^{p} a_{n}}=\frac{1}{n^{p}}$ ，且当 $p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}$ 收玫，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 收玫．
（5）因级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}}=1-\frac{1}{1+n^{\alpha}},\left\{\frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}}\right\}$ 单调有界，由阿贝尔判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明(1)：若∑a_n收敛，则∑a_n/(1+a_n)收敛
由于$a_n>0$，有$\frac{a_n}{1+a_n} < a_n$。由比较判别法，若$\sum a_n$收敛，则$\sum \frac{a_n}{1+a_n}$也收敛。
公式：\frac{a_n}{1+a_n} < a_n
提示：注意不等式方向，正项级数比较时需保证不等式成立。
步骤 2/7
目标：证明(1)：若∑a_n/(1+a_n)收敛，则∑a_n收敛
若$\sum \frac{a_n}{1+a_n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1+a_n}=0$，从而$\lim_{n\to\infty} a_n=0$。又$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}} = \lim_{n\to\infty} (1+a_n)=1$，由极限形式的比较判别法，$\sum a_n$收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{a_n}{1+a_n}} = 1
提示：需先证明a_n→0，否则极限形式不适用。
步骤 3/7
目标：证明(2)：反证法证明∑1/(1+a_n)发散
假设$\sum \frac{1}{1+a_n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+a_n}=0$，从而$\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$。计算$\lim_{n\to\infty} \frac{1/a_n}{1/(1+a_n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{1+a_n}{a_n} = 1$，由比较判别法知$\sum \frac{1}{a_n}$收敛，与已知发散矛盾。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1/a_n}{1/(1+a_n)} = 1
提示：反证法假设收敛，需验证极限条件成立。
步骤 4/7
目标：证明(3)第一部分：由条件推出a_n→0
由$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1+a_n}=0$，得$\lim_{n\to\infty} \frac{1+a_n}{a_n} = \infty$，即$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{a_n} = \infty$，故$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1+a_n}=0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_n=0
提示：注意极限运算的合理性，a_n>0保证分母不为零。
步骤 5/7
目标：证明(3)第二部分：∑a_n发散蕴含∑a_n/(1+a_n)发散
假设$\sum \frac{a_n}{1+a_n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1+a_n}=0$，由(1)知$\sum a_n$收敛，与已知发散矛盾。故$\sum \frac{a_n}{1+a_n}$发散。
提示：直接利用(1)的结论，注意条件中∑a_n发散。
步骤 6/7
目标：证明(4)：p>1时级数收敛
由于$\frac{a_n}{1+n^p a_n} < \frac{a_n}{n^p a_n} = \frac{1}{n^p}$，当$p>1$时，$\sum \frac{1}{n^p}$收敛，由比较判别法知$\sum \frac{a_n}{1+n^p a_n}$收敛。
公式：\frac{a_n}{1+n^p a_n} < \frac{1}{n^p}
提示：不等式成立需a_n>0，且p≥1时n^p a_n≥0。
步骤 7/7
目标：证明(5)：利用阿贝尔判别法
由于$\sum b_n$收敛，且$\frac{n^\alpha}{1+n^\alpha}=1-\frac{1}{1+n^\alpha}$单调递增趋于1，故有界。由阿贝尔判别法，$\sum \frac{n^\alpha}{1+n^\alpha} b_n$收敛。
公式：\frac{n^\alpha}{1+n^\alpha} = 1 - \frac{1}{1+n^\alpha}
提示：需验证序列单调有界，阿贝尔判别法要求其中一个序列单调有界。
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