中册 6.1 数项级数的敛散性 第25题
📝 题目
25．证明下列结论．
（1）证明：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
💡 答案解析
解题过程：
（1）因为 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛，所以存在 $M>0$ ，使 $\forall n,\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right| \leqslant M$ 。于是
$$
\left|a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)\right| \leqslant M\left|a_{n}\right|
$$
由比较判别法得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛。
（2）因为 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 收敛，所以存在 $M>0$ ，使 $\forall n,\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right| \leqslant M$ 。故
$$
\left|a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)\right| \leqslant M\left|a_{n}\right|
$$
由比较判别法得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 绝对收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解绝对收敛的定义
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛。根据收敛级数的性质，其部分和数列有界，因此存在常数 $M>0$，使得对所有正整数 $n$，有 $\sum_{k=1}^{n} |a_k| \leq M$。
提示：注意绝对收敛意味着正项级数收敛，从而部分和有界。
步骤 2/5
目标：估计第一问中通项的绝对值
考虑 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ 的通项绝对值：$|a_n(a_1+a_2+\cdots+a_n)| \leq |a_n| \cdot (|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|) \leq M |a_n|$。
公式：三角不等式：$|\sum_{k=1}^n a_k| \leq \sum_{k=1}^n |a_k|$
提示：注意绝对值不等式放缩时，要确保方向正确。
步骤 3/5
目标：应用比较判别法证明第一问
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，且 $0 \leq |a_n(a_1+\cdots+a_n)| \leq M|a_n|$，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n(a_1+\cdots+a_n)|$ 收敛，即原级数绝对收敛。
公式：比较判别法：若 $0 \leq b_n \leq c_n$ 且 $\sum c_n$ 收敛，则 $\sum b_n$ 收敛。
提示：比较判别法要求通项非负，这里通项绝对值非负，满足条件。
步骤 4/5
目标：估计第二问中通项的绝对值
考虑 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1})$ 的通项绝对值：$|a_n(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1})| \leq |a_n| \cdot (|a_1|+|a_3|+\cdots+|a_{2n-1}|) \leq |a_n| \cdot (|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_{2n-1}|) \leq M |a_n|$。
公式：三角不等式及部分和的有界性
提示：注意奇数项的和的绝对值不超过所有项绝对值之和，而所有项绝对值之和不超过M。
步骤 5/5
目标：应用比较判别法证明第二问
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，且 $0 \leq |a_n(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1})| \leq M|a_n|$，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n(a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1})|$ 收敛，即原级数绝对收敛。
公式：比较判别法
提示：注意这里M是同一个上界，因为部分和数列有界。
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