中册 6.1 数项级数的敛散性 第26题
📝 题目
26．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 的部分和为 $S_{n}=f(n+1)-f(1)$ ．由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 得
$S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=A-f(1)$ 。所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，其和为 $A-f(1)$ ．
由 Lagrange 中值定理及 $f^{\prime}(x)$ 单调减少可知， $0 \leqslant f^{\prime}(n)
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明级数∑(f(n+1)-f(n))收敛并求和
考虑部分和 $S_n = \sum_{k=1}^n (f(k+1)-f(k)) = f(n+1)-f(1)$。由 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$ 得 $\lim_{n\to\infty} S_n = A-f(1)$，故级数收敛，和为 $A-f(1)$。
公式：$S_n = f(n+1)-f(1)$
提示：注意部分和是 telescoping 形式，直接化简。
步骤 2/5
目标：证明级数∑f'(n)收敛
由 $f''(x)<0$ 知 $f'(x)$ 单调递减。对 $n\ge 2$，由 Lagrange 中值定理，存在 $\xi\in(n-1,n)$ 使得 $f(n)-f(n-1)=f'(\xi)$。由于 $f'(x)$ 递减，有 $0\le f'(n) \le f'(\xi)=f(n)-f(n-1)$。而级数 $\sum_{n=2}^\infty (f(n)-f(n-1))$ 收敛（由(1)知），由比较判别法得 $\sum_{n=1}^\infty f'(n)$ 收敛。
公式：$f(n)-f(n-1)=f'(\xi)$, $0\le f'(n)\le f(n)-f(n-1)$
提示：注意 $f'(n)$ 非负由单调递增保证，且需验证 $f'(n)\ge 0$。
步骤 3/5
目标：求部分和 S_n = ∑_{k=0}^n a_k
$S_n = a_0 + \sum_{k=1}^n a_k = \int_0^1 f(x)dx + \sum_{k=1}^n \left( f(k) - \int_{k-1}^k f(x)dx \right) = \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x)dx$。注意 $a_0$ 与积分项合并后，积分从0到1与从1到n合并为从0到n？实际上 $S_n = \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x)dx$，因为 $a_0$ 抵消了积分下限。
公式：$S_n = \sum_{k=1}^n f(k) - \int_1^n f(x)dx$
提示：注意 $a_0$ 的定义，积分区间为 $[0,1]$，与后续积分合并时需小心。
步骤 4/5
目标：证明数列 {S_n} 单调递增
计算 $S_{n+1}-S_n = f(n+1) - \int_n^{n+1} f(x)dx$。由于 $f(x)$ 单调递增，在区间 $[n,n+1]$ 上有 $f(x) \le f(n+1)$，故 $\int_n^{n+1} f(x)dx \le f(n+1)$，从而 $S_{n+1}-S_n \ge 0$，即数列单调递增。
公式：$S_{n+1}-S_n = f(n+1) - \int_n^{n+1} f(x)dx$
提示：利用单调性比较积分与端点值。
步骤 5/5
目标：证明级数 ∑ a_n 收敛并给出上界
由 $f$ 单调递增，对 $n\ge 1$ 有 $f(n-1) \le \int_{n-1}^n f(x)dx \le f(n)$，从而 $0 \le a_n = f(n)-\int_{n-1}^n f(x)dx \le f(n)-f(n-1)$。级数 $\sum_{n=1}^\infty (f(n)-f(n-1))$ 的部分和为 $T_n = f(n)-f(0)$，由 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=A$ 得 $\lim T_n = A-f(0)$，故该级数收敛。由比较判别法，$\sum a_n$ 收敛，且 $\sum_{n=0}^\infty a_n \le A-f(0)$（注意 $a_0$ 也需估计，但 $a_0 = \int_0^1 f(x)dx \le f(1)$，而 $f(1)-f(0)$ 包含在级数中，整体上界为 $A-f(0)$）。
公式：$0 \le a_n \le f(n)-f(n-1)$
提示：注意 $a_0$ 的估计：$a_0 = \int_0^1 f(x)dx \le f(1)$，但上界 $A-f(0)$ 是整体上界，需验证 $\sum a_n \le A-f(0)$。
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