中册 6.1 数项级数的敛散性 第27题
📝 题目
27．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可微，且 $f^{\prime}(x) \geqslant K>0$ ．证明：（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$\forall x \in[0,+\infty)$ ，在 $[0, x]$ 上应用拉格朗日中值定理有
$$
f(x)-f(0)=f^{\prime}(\xi) x \geqslant k x .
$$
于是 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．从而存在 $M>0$ ，使 $f(M)>0$ ．进一步有
$$
f(x)-f(M)=f^{\prime}(\xi)(x-M) \geqslant k(x-M) .
$$
则当 $n>M$ 时，
$$
\frac{1}{1+f^{2}(n)} \leqslant \frac{1}{1+f^{2}(M)+k^{2}(n-M)^{2}} \leqslant \frac{1}{1+k^{2}(n-M)^{2}} .
$$
因级数 $\displaystyle \sum \frac{1}{1+k^{2}(n-M)^{2}}$ 收玫，由比较判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用拉格朗日中值定理得到f(x)的下界
对任意 $x \in [0, +\infty)$，在区间 $[0, x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0, x)$ 使得 $f(x) - f(0) = f'(\xi) x$。由条件 $f'(\xi) \geqslant K > 0$，得 $f(x) \geqslant f(0) + K x$。
公式：f(x) - f(0) = f'(\xi) x \geqslant K x
提示：注意拉格朗日中值定理的条件是函数在闭区间连续、开区间可导，本题满足。
步骤 2/7
目标：证明极限为+∞
由 $f(x) \geqslant f(0) + K x$，当 $x \to +\infty$ 时，$K x \to +\infty$，故 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$。
提示：注意下界趋于无穷即可推出函数趋于无穷。
步骤 3/7
目标：存在M使得f(M)>0
由于 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$，存在 $M > 0$ 使得当 $x \geq M$ 时 $f(x) > 0$，特别地 $f(M) > 0$。
提示：极限定义的应用。
步骤 4/7
目标：对x>M应用拉格朗日中值定理
对任意 $x > M$，在区间 $[M, x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\eta \in (M, x)$ 使得 $f(x) - f(M) = f'(\eta)(x - M) \geqslant K (x - M)$，从而 $f(x) \geqslant f(M) + K (x - M)$。
公式：f(x) \geqslant f(M) + K (x - M)
提示：注意区间端点顺序。
步骤 5/7
目标：放缩级数通项
当 $n > M$ 时，由 $f(n) \geqslant f(M) + K (n - M)$ 得 $1 + f^2(n) \geqslant 1 + [f(M) + K (n - M)]^2 \geqslant 1 + K^2 (n - M)^2$，因此 $\frac{1}{1 + f^2(n)} \leqslant \frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2}$。
公式：\frac{1}{1 + f^2(n)} \leqslant \frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2}
提示：注意平方和展开时忽略交叉项可得更简单的下界，但这里直接平方即可。
步骤 6/7
目标：判断比较级数的收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2}$，从 $n > M$ 开始，其通项与 $\frac{1}{K^2 n^2}$ 等价，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故该级数收敛。
公式：\frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2} \sim \frac{1}{K^2 n^2}
提示：注意比较判别法的极限形式，或者直接用p-级数。
步骤 7/7
目标：由比较判别法得原级数收敛
由于 $0 \leq \frac{1}{1 + f^2(n)} \leq \frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2}$ 对充分大的 $n$ 成立，且 $\sum \frac{1}{1 + K^2 (n - M)^2}$ 收敛，由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + f^2(n)}$ 收敛。
提示：比较判别法要求非负项，这里显然满足。
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