中册 6.1 数项级数的敛散性 第28题
📝 题目
28．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $f(x)$ 是偶函数，在 $x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
💡 答案解析
解题分析：题设条件 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，利用泰勒公式．
\section*{解题过程：}
（1）由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot x=0$ 知 $f(0)=0$ ．
由． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 知 $f^{\prime}(0)=0$ ．
由 Taylor 公式得
$$
\begin{aligned}
& f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0)+f^{\prime}(0) \frac{1}{n}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) \\
& \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(0)\right| \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right)=\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(0)\right|
\end{aligned}
$$
因 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收敛，即 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）充分性：由（1）得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
必要性：由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收玫得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ．由 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续得
$$
f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=0
$$
由 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在得 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 连续．若 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(0) \cdot \frac{1}{n}$ 发散．于是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f^{\prime}(0) \cdot \frac{1}{n}+f^{\prime \prime}(0) \cdot \frac{1}{n^{2}}\right]$ 发散。再由 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right) \sim f^{\prime}(0) \cdot \frac{1}{n}+f^{\prime \prime}(0) \cdot \frac{1}{n^{2}}$ 得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散。矛盾！所以 $f^{\prime}(0)=0$ 。
（3）由题设条件得 $f(x)$ 及 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\exists M>0$ ，使 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant M$ ．
由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} \cdot x=0$ 知 $f(0)=0$ ．
由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ 知 $f^{\prime}(0)=a$ ．
由 Taylor 公式得：$\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) x^{2}=a x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi) x^{2}$ ．
若 $a=0$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n}\right)=f^{\prime \prime}(\xi) \frac{1}{n^{2}}$ ．于是 $\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\left|f^{\prime \prime}(\xi) \frac{1}{n^{2}}\right| \leqslant M \frac{1}{n^{2}}$ ，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收玫．
若 $a>0$ ，则
$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)=a \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(\xi) \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}
$$
由 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi) \frac{1}{n^{2}}\right| \leqslant M \frac{1}{n^{2}}$ 知，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f^{\prime \prime}(\xi) \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|$ 收敛．又 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$ 收玫，所以 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫；
又 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=a \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime \prime}(\xi) \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ ．由 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f^{\prime \prime}(\xi) \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right|$ 收玫及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散得 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散。
（4）由 $f(x)$ 是偶函数得 $f^{\prime}(x)=0$ ．
由 Taylor 公式得：$\displaystyle f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} x^{2}+o\left(x^{2}\right)=1+x^{2}+o\left(x^{2}\right)$ 。从而
$$
f\left(\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)
$$
因级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收敛，由比较判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收玫。
（5）由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ 得 $f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ 。由 Taylor 公式有
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(0) x^{3}+o\left(x^{3}\right)=\frac{1}{6} f^{\prime \prime \prime}(0) x^{3}+o\left(x^{3}\right)
$$
从而 $\displaystyle n f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{f^{m}(0)}{6} \frac{1}{n^{2}}+o\left(\frac{1}{n^{2}}\right)$ ．于是 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left|n f\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\frac{\left|f^{m}(0)\right|}{6}$ ．由级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 收玫得 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left|n f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收
敛。所以 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（6）由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 得 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ．
由 Taylor 公式得：
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+o\left(x^{2}\right)=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+o\left(x^{2}\right)
$$
从而 $\displaystyle \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n^{3}}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n^{3}}}\right)$ ．由 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n^{3}}\left|\sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)\right|=\frac{1}{2}\left|f^{\prime \prime}(0)\right|$ 及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{3}}}$ 收玫得级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（7）由 Taylor 公式得 $\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime}(\xi) x^{3}$ 。于是
$$
\begin{aligned}
& f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0)+f^{\prime}(0) \frac{1}{n}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{6} \frac{1}{n^{3}} f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) \\
& f\left(-\frac{1}{n}\right)=f(0)-f^{\prime}(0) \frac{1}{n}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) \frac{1}{n^{2}}-\frac{1}{6} \frac{1}{n^{3}} f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)
\end{aligned}
$$
两式相减得
$$
n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)=\frac{1}{6} \frac{1}{n^{2}}\left(f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{1}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\xi_{2}\right)\right)
$$
于是
$$
\left|n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right| \sim \frac{1}{3 n^{2}}\left|f^{\prime \prime \prime}(0)\right|
$$
由级数 $\displaystyle \sum \frac{1}{n^{2}}$ 收玫得级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明 f(0)=0 和 f'(0)=0
由条件 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，得 $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot x = 0$，由连续性得 $f(0)=0$。又 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$，故 $f'(0)=0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$
提示：注意极限乘法运算时需保证极限存在。
步骤 2/8
目标：利用泰勒公式展开 f(1/n)
由于 $f$ 在 $x=0$ 处有二阶连续导数，由泰勒公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$。代入 $f(0)=0, f'(0)=0$ 得 $f(x)=\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$。令 $x=1/n$，则 $f(1/n)=\frac{1}{2}f''(0)\frac{1}{n^2}+o(1/n^2)$。
公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$
提示：注意余项 $o(x^2)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小。
步骤 3/8
目标：比较判别法证明绝对收敛
由 $f(1/n)$ 的展开式，得 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| = \frac{1}{2}|f''(0)|$。因为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，由比较判别法知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right|$ 收敛，即原级数绝对收敛。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 \left| f\left(\frac{1}{n}\right) \right| = \frac{1}{2}|f''(0)|$
提示：比较判别法要求极限存在且非零，这里极限为有限数。
步骤 4/8
目标：证明必要性：f(0)=0
若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛，则通项趋于0，即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=0$。由 $f$ 在 $x=0$ 连续得 $f(0)=\lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=0$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=0$
提示：绝对收敛推出通项趋于0是级数收敛的必要条件。
步骤 5/8
目标：证明必要性：f'(0)=0（反证法）
假设 $f'(0) \neq 0$。由于 $f''(0)$ 存在，由泰勒公式 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$，代入 $f(0)=0$ 得 $f(1/n) \sim f'(0)/n$。因为 $\sum 1/n$ 发散，所以 $\sum f(1/n)$ 发散，与绝对收敛矛盾。故 $f'(0)=0$。
公式：$f(x) \sim f'(0)x$ 当 $x \to 0$
提示：反证法需注意 $f'(0) \neq 0$ 时 $f(1/n)$ 与 $1/n$ 同阶。
步骤 6/8
目标：证明(3)中 a>0 时交错级数收敛
由条件得 $f(0)=0, f'(0)=a>0$。泰勒展开：$f(1/n)=a/n + \frac{1}{2}f''(\xi_n)/n^2$。则 $(-1)^n f(1/n)=a(-1)^n/n + \frac{1}{2}f''(\xi_n)(-1)^n/n^2$。由于 $\sum (-1)^n/n$ 收敛（莱布尼茨），且 $\sum |f''(\xi_n)|/n^2$ 收敛（有界），故原交错级数收敛。
公式：$f(1/n)=a/n + O(1/n^2)$
提示：注意 $f''(\xi_n)$ 有界是因为二阶导数连续。
步骤 7/8
目标：证明(3)中 a>0 时正项级数发散
由 $f(1/n)=a/n + O(1/n^2)$，得 $\sum f(1/n)=a\sum 1/n + \sum O(1/n^2)$。由于 $\sum 1/n$ 发散，$\sum O(1/n^2)$ 收敛，故原级数发散。
公式：$\sum f(1/n)=a\sum 1/n + \text{收敛项}$
提示：发散级数加收敛级数仍发散。
步骤 8/8
目标：证明(4)中偶函数情形
由 $f$ 为偶函数得 $f'(0)=0$。泰勒展开：$f(x)=f(0)+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)=1+x^2+o(x^2)$。则 $f(1/n)-1=1/n^2+o(1/n^2)$。由于 $\sum 1/n^2$ 收敛，故 $\sum [f(1/n)-1]$ 绝对收敛。
公式：$f(x)=1+x^2+o(x^2)$
提示：偶函数的一阶导数为0。
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