中册 6.1 数项级数的敛散性 第29题
📝 题目
29．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的和；（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x$ ；（3）证明： $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $\displaystyle a_{n}+a_{n+2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n+2} x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} \tan x=\frac{1}{n+1}$ ，于是
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1 .
$$
（2）$\displaystyle a_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x}{\cos x} \mathrm{~d} x=-\ln |\cos x|_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2} \ln 2$ ．由（1）得 $\displaystyle a_{3}+a_{1}=\frac{1}{2}, a_{5}+a_{3}=\frac{1}{4}$ ．于是
$$
a_{5}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x=a_{1}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \ln 2-\frac{1}{4}
$$
（3）当 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 时， $0<\tan ^{n} x<1, a_{n+2}0$ 及 $\displaystyle a_{n}+a_{n+2}=\frac{1}{n+1}$ 可知 $\displaystyle a_{n}<\frac{1}{1+n}<\frac{1}{n}$ ．于是 $\displaystyle \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}<\frac{1}{n^{1+\lambda}}$ ．由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\lambda}}$ 收敛可知， $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简 a_n + a_{n+2}
计算 $a_n + a_{n+2} = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, dx + \int_0^{\pi/4} \tan^{n+2} x \, dx = \int_0^{\pi/4} \tan^n x (1+\tan^2 x) \, dx = \int_0^{\pi/4} \tan^n x \, d(\tan x) = \left. \frac{\tan^{n+1} x}{n+1} \right|_0^{\pi/4} = \frac{1}{n+1}$。
公式：$a_n + a_{n+2} = \frac{1}{n+1}$
提示：注意 $1+\tan^2 x = \sec^2 x = d(\tan x)/dx$，积分变量替换时不要遗漏微分。
步骤 2/6
目标：求级数和
由（1）得 $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n + a_{n+2}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$。利用裂项相消：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，所以部分和 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，故级数和为1。
公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：裂项时注意符号，不要写成 $\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}$。
步骤 3/6
目标：计算 a_1
$a_1 = \int_0^{\pi/4} \tan x \, dx = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| \big|_0^{\pi/4} = -\ln(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2}\ln 2$。
公式：$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$
提示：注意绝对值，在 $(0,\pi/4)$ 上 $\cos x > 0$，可直接去掉绝对值。
步骤 4/6
目标：递推计算 a_5
由（1）递推：$a_3 + a_1 = \frac{1}{2}$，得 $a_3 = \frac{1}{2} - a_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2$；$a_5 + a_3 = \frac{1}{4}$，得 $a_5 = \frac{1}{4} - a_3 = \frac{1}{4} - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\ln 2\right) = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{4}$。
公式：$a_{n+2} = \frac{1}{n+1} - a_n$
提示：注意递推方向，从 $a_1$ 依次求 $a_3, a_5$。
步骤 5/6
目标：证明不等式
当 $x \in (0, \pi/4)$ 时，$0 < \tan x < 1$，故 $\tan^{n+2} x < \tan^n x < \tan^{n-2} x$（$n \ge 2$）。积分得 $a_{n+2} < a_n < a_{n-2}$。于是 $a_n + a_{n+2} < 2a_n < a_{n-2} + a_n$。由（1）$a_n + a_{n+2} = \frac{1}{n+1}$，$a_{n-2} + a_n = \frac{1}{n-1}$，代入得 $\frac{1}{n+1} < 2a_n < \frac{1}{n-1}$，即 $\frac{1}{2(n+1)} < a_n < \frac{1}{2(n-1)}$。
公式：$a_{n+2} < a_n < a_{n-2}$
提示：注意不等式方向：由于 $\tan x < 1$，指数越大值越小。
步骤 6/6
目标：证明级数收敛
由 $a_n > 0$ 及 $a_n + a_{n+2} = \frac{1}{n+1}$ 得 $a_n < \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$。故 $\frac{a_n}{n^\lambda} < \frac{1}{n^{1+\lambda}}$。由于 $\lambda > 0$，$1+\lambda > 1$，$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+\lambda}}$ 收敛（p-级数），由比较判别法知原级数收敛。
公式：$a_n < \frac{1}{n}$
提示：注意 $\lambda > 0$ 保证 $1+\lambda > 1$，p-级数收敛。
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