中册 6.1 数项级数的敛散性 第33题

\section*{解题过程：} （1）$\displaystyle f(x)=\frac{2}{5}\left(\frac{1}{2+x}+\frac{2}{1-2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle f^{(n)}(x)=\frac{2}{5}\left(\frac{(-1)^{n} n!}{(2+x)^{n+1}}+\frac{2^{n+1} n!}{(1-2 x)^{n+1}}\right)$ ． $\displaystyle f^{(n)}(0)=\frac{2}{5}\left[\frac{(-1)^{n} n!}{2^{n+1}}+2^{n+1} n!\right]$ ．于是 $$ \frac{n!}{f^{(n)}(0)}=\frac{5}{2} \frac{1}{\frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}}+2^{n+1}} \sim \frac{5}{2} \frac{1}{2^{n+1}}(n \rightarrow \infty) $$ 所以 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫。 （2）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1-x}+\frac{1}{\sqrt{2}+1+x}\right)$ $$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2}-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}-1}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2}+1}\left(\frac{-x}{\sqrt{2}+1}\right)^{n}\right) \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{2}} \sum_{n=0}^{\infty}\left((\sqrt{2}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{2}-1)^{n+1}\right) x^{n} . \end{aligned} $$ 于是 $$ f^{(n)}(0)=n!\frac{1}{2 \sqrt{2}}\left((\sqrt{2}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{2}-1)^{n+1}\right) $$ 从而 $\displaystyle \frac{n!}{f^{(n)}(0)}=2 \sqrt{2} \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{2}-1)^{n+1}}-2 \sqrt{2} \frac{1}{(\sqrt{2}+1)^{n+1}}$ ．由此得级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫。 （3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1-x}+\frac{1}{\sqrt{3}+1+x}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{3}} \sum_{n=0}^{\infty}\left[(\sqrt{3}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{3}-1)^{n+1}\right] x^{n}$ ． 于是 $\displaystyle f^{(n)}(0)=n!\frac{1}{2 \sqrt{3}}\left[(\sqrt{3}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{3}-1)^{n+1}\right]$ ． 从而 $\displaystyle \frac{n!}{f^{(n)}(0)}=2 \sqrt{3} \frac{1}{(\sqrt{3}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{3}-1)^{n+1}} \sim 2 \sqrt{3} \frac{1}{(\sqrt{3}+1)^{n+1}}$ ．由此得级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫。 （4）$\displaystyle f(x)=\frac{2}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}-x}+\frac{1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}+x}\right)=\frac{2}{\sqrt{5}} \sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(\frac{2}{\sqrt{5}-1}\right)^{n+1}+(-1)^{n}\left(\frac{2}{\sqrt{5}+1}\right)^{n+1}\right] x^{n}$ ． 于是 $\displaystyle f^{(n)}(0)=n!\frac{2}{\sqrt{5}}\left((\sqrt{5}+1)^{n+1}+(-1)^{n}(\sqrt{5}-1)^{n+1}\right) \cdot 2^{-(n+1)}$ ． 从而 $$ \begin{aligned} \frac{n!}{f^{(n)}(0)} & =\frac{\sqrt{5}}{2} \frac{2^{n+1}}{\left.(\sqrt{5}+1)^{n+1} \cdots 1-1\right)(\sqrt{5}-1)^{n+1}} \\ & =\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^{n+1} \frac{1}{1+(-1)^{n}\left(\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}\right)^{(n+1)}}-\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^{n+1} . \end{aligned} $$ 因为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{1+\sqrt{5}}\right)^{n+1}$ 收敛，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{\int^{\prime \prime \prime}(0)}$ 收玫。 （5）由于 $\displaystyle (1+x)^{a}=1+\sum_{-1}^{\infty} \frac{\alpha(r-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^{n}$ ，所以 $$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{1 \cdot x^{2}}}=x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}\left[\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}-1\right) \cdots\left(-\frac{1}{2}-n+1\right)\right] x^{2 n+1}=x+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n-1)!!}{2^{n} \cdot n!} x^{2 n+1} . $$ 于是 $\displaystyle f^{(r)}(0)=n!\frac{(-1)^{n}(2 n-1)!!}{2^{n} n!}=\frac{(-1)^{n}(2 n-1)!!}{2^{n}}, \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{2^{n}(2 n+2)!!}$ ． 由于 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n+1}{2(2 n+4)}=\frac{1}{2}<1$ ，所以级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ 收玫。