中册 6.1 数项级数的敛散性 第34题
📝 题目
34．证明下列结论．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $-\inftyr$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
💡 答案解析
解题过程：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-\alpha_{0}}}\right)$ ．由于 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，$\displaystyle \left\{\frac{1}{n^{\alpha-\alpha_{0}}}\right\}$ 单调有界，由 Abel 判别法知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 收玫。
（2）作集合 $\displaystyle E=\left\{\alpha_{0} \left\lvert\, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\alpha_{0}}}\right.\right.$ 收玫 $\}$ ，则 $E$ 非空有下界，故必有下确界．记 $r=\inf E$ ．
当 $x>r$ 时，存在 $\lambda \in E$ 使 $x>\lambda>r$ 。由（1）知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛；当 $x
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解题目条件与结论
题目（1）已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha_0}}$ 收敛，要证明当 $\alpha > \alpha_0$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha}}$ 也收敛。
提示：注意 $\alpha$ 与 $\alpha_0$ 的大小关系，$\alpha > \alpha_0$ 意味着指数更大，分母更大，但收敛性需要证明。
步骤 2/8
目标：改写级数形式
将 $\frac{x_n}{n^{\alpha}}$ 改写为 $\frac{x_n}{n^{\alpha_0}} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-\alpha_0}}$，即 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha}} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{x_n}{n^{\alpha_0}} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-\alpha_0}} \right)$。
公式：$\frac{x_n}{n^{\alpha}} = \frac{x_n}{n^{\alpha_0}} \cdot \frac{1}{n^{\alpha-\alpha_0}}$
提示：注意指数运算的准确性：$n^{\alpha} = n^{\alpha_0} \cdot n^{\alpha-\alpha_0}$。
步骤 3/8
目标：应用Abel判别法
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha_0}}$ 收敛，而数列 $\left\{ \frac{1}{n^{\alpha-\alpha_0}} \right\}$ 单调递减且趋于0（因为 $\alpha-\alpha_0 > 0$），因此由Abel判别法（或Dirichlet判别法）可知，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_n}{n^{\alpha}}$ 收敛。
公式：Abel判别法：若 $\sum a_n$ 收敛，$\{b_n\}$ 单调有界，则 $\sum a_n b_n$ 收敛。
提示：注意Abel判别法的条件：$\{b_n\}$ 单调有界。这里 $b_n = 1/n^{\alpha-\alpha_0}$ 单调递减且有界（介于0和1之间）。
步骤 4/8
目标：理解（2）的结论
题目（2）已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^x}$ 收敛，要证明存在实数 $r$，使得当 $xr$ 时级数收敛。这类似于幂级数的收敛半径概念。
提示：注意 $r$ 是唯一的，且可能为 $\pm\infty$。
步骤 5/8
目标：定义集合E并求下确界
定义集合 $E = \left\{ \alpha_0 \mid \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{\alpha_0}} \text{ 收敛} \right\}$。由已知，$E$ 非空（因为存在某个 $x$ 使级数收敛），且 $E$ 有下界（例如，若 $x$ 很大时级数发散，则 $E$ 有下界；实际上，由（1）知，若 $\alpha_0 \in E$，则所有大于 $\alpha_0$ 的数也属于 $E$，所以 $E$ 是形如 $(r, +\infty)$ 或 $[r, +\infty)$ 的区间）。因此 $E$ 有下确界，记 $r = \inf E$。
公式：$r = \inf E$
提示：下确界的存在性依赖于 $E$ 非空且有下界。注意 $E$ 可能包含 $r$ 也可能不包含。
步骤 6/8
目标：证明当x>r时级数收敛
若 $x > r$，由下确界的性质，存在 $\lambda \in E$ 使得 $x > \lambda > r$。由于 $\lambda \in E$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{\lambda}}$ 收敛。又因为 $x > \lambda$，由（1）的结论，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}}$ 收敛。
提示：注意这里应用（1）的结论时，需要 $x > \lambda$，即指数更大，所以收敛性传递。
步骤 7/8
目标：证明当x
若 $x < r$，则 $x \notin E$（因为 $r$ 是 $E$ 的下确界，且 $E$ 中所有数都大于等于 $r$，但 $x < r$，所以 $x$ 不在 $E$ 中），因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{x}}$ 发散。
提示：注意 $E$ 的定义：$E$ 是使级数收敛的 $\alpha_0$ 的集合，所以 $x \notin E$ 意味着级数发散。
步骤 8/8
目标：总结结论
因此，存在实数 $r = \inf E$，使得当 $x < r$ 时级数发散，当 $x > r$ 时级数收敛。注意 $r$ 可能为 $-\infty$ 或 $+\infty$，但题目假设级数收敛于某个 $x$，所以 $r$ 是有限实数。
提示：注意 $r$ 的取值：如果级数对所有 $x$ 都收敛，则 $r = -\infty$；如果对所有 $x$ 都发散，则 $r = +\infty$。但题目已知存在收敛的 $x$，所以 $r$ 有限。
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